SSSUP: Sfera conduttrice con carica puntiforme interna

[ilfugiuliopascal]

Una sfera conduttrice cava che ha raggio interno R1 e raggio esterno R2 è caricata con una carica elettrica Q=3 nC. Una carica puntiforme q = 2 nC si trova nel vuoto al centro della sfera.
a) si calcolino le cariche elettriche Q1 e Q2 che si dispongono all'equilibrio sulle due superfici della sfera cava.
b) si trovi la forza totale esercitata dalla carica puntiforme sul conduttore
c) si dica che la posizione della carica puntiforme al centro della sfera è una posizione di equilibrio e, in caso affermativo, si dica se è equilibrio stabile, instabile o indifferente. Le risposte ad entrambi questi quesiti devono essere adeguatamente giustificate

[Roberto Albesiano]

Cerchiamo di capire la situazione:
1) hai una carica Q sulla superficie della sfera conduttrice, se non ci fosse nient'altro questa carica si disporrebbe sulla superficie esterna del conduttore
2) c'è una carica q nel centro della sfera, questa carica produce un campo elettrico centrale che sposta le cariche che sono sulla sfera su un'altra posizione di equilibrio. Ciò vuol dire due cose:
i. la carica totale sulla sfera è sempre Q
ii. il campo elettrico nel conduttore è, ovviamente, zero (altrimenti non sarebbe in equilibrio)

Quindi per il punto (a) devi imporre le condizioni


Dove con indico il campo elettrico tra e , che è la somma del campo prodotto dalla carica q ()
e quello prodotto dalle cariche sulla superficie (che puoi trovare con il teorema di Gauss, considerando una sfera di raggio )

Per (b) puoi osservare che per simmetria la forza totale è nulla, mentre per (c) prova a pensare a cosa avviene alle cariche sul conduttore quando q si sposta verso di esse...

[bozzio]

Ma e ?

[Andg94]

Bozzio scusa se te lo chiedo ma come sei giunto a ?
Io comunque, piuttosto, direi che per mantenere una differenza di potenziale nulla nella sfera conduttrice, ovvero un campo elettrico a sua volta nullo tra e come già detto da Roberto, si viene a creare in una carica .
Per quanto riguarda il punto C, invece, direi che si tratta di un equilibrio indifferente: cambiano le disposizioni delle cariche in e in , ma non avviene nulla di più.

[bozzio]

Avevo considerato una sfera di raggio a distanza dal centro. In realtà come si dovrebbe fare?

[Roberto Albesiano]

Per quanto riguarda il punto C, invece, direi che si tratta di un equilibrio indifferente: cambiano le disposizioni delle cariche in e in , ma non avviene nulla di più.

Cambiano le posizioni delle cariche, appunto: quando la carica q si sposta dal centro verso la superficie della sfera, sulla parte della sfera verso cui si muove si accumula una certa carica di segno opposto a q, che eserciterà una forza attrattiva proprio su di essa. Quindi, dato che su q agisce una forza che la spinge verso la superficie della sfera, direi che l'equilibrio non è indifferente, ma instabile...

Avevo considerato una sfera di raggio a distanza dal centro. In realtà come si dovrebbe fare?

Non riesco a capire cosa hai fatto (cioè la tua sfera di raggio come l'hai messa?). Comunque,
(è il campo prodotto da una carica puntiforme)
mentre per il campo prodotto dalla distribuzione di carica consideri una superficie sferica di raggio e applichi il teorema di Gauss e la definizione di flusso



Tra parentesi, mi sono accorto solo ora scrivendo questo ( ) che era molto più semplice dire:
1) il campo elettrico nel conduttore deve essere zero
2) il flusso del campo elettrico nel conduttore (su una sfera di raggio ) deve essere zero
3) per il teorema di Gauss allora (da cui
Che alla fine è la stessa identica cosa che uguagliare i campi come sopra, ma fatta in mezza riga

[bozzio]

Si avete ragione ho detto una cavolata. Ma Q_1 non deve essere uguale a -q?

[Andg94]

Esatto... e, di conseguenza, .

[bozzio]

Si però a Roberto viene in modo differente, non ho capito bene il perché. Non ho neanche capito come esplicitare i calcoli che Roberto ha messo sotto forma vettoriale
Andg potresti spiegare meglio il punto c?

[Roberto Albesiano]

Sì avete ragione, ho scritto una cavolata
Il segno è opposto, quindi viene come avete detto... Chiedo scusa

EDIT: ho corretto i segni nel post precedente