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Una barra conduttiva di lunghezza , resistenza e massa può muoversi senza attrito su due conduttori ideali che si chiudono su un induttore , e il sistema è immerso in un campo magnetico uscente perpendicolare al circuito.
a)Considerando l'induttanza nulla trovare l'evoluzione della corrente nel tempo se la barra inizia a muoversi con velocità iniziale diretta verso destra(esterno del circuito).
b)Che effetto ha l'introduzione dell'induttore L sulla dinamica della corrente nel circuito?

Questo problema mi è sembrato relativamente standard per essere un SNS e ho voluto provarlo, ma non penso di averlo risolto correttamente, soprattutto il punto b.

a) Per la legger Faraday la corrente indotta istantanea a è data da e circola in verso orario, inoltre si vede facilmente che quando la sbarretta di muove di un tratto il flusso del campo magnetico varia come .
La barra è soggetta poi alla forza di interazione magnetica diretta verso sinistra(interno del circuito) , e unendo queste tre equazioni si ottiene , da cui integrando e consideranzo che in si ha ottengo , da cui .

b) Qui mi verrebbe da usare direttamente la formula della legge di Faraday con l'induttanza da cui integrando e considerando (ma qui penso di sbagliarmi) trovo , ma mi sembra troppo scontato per essere giusto.

Corretta la soluzione del punto a), nel punto b) invece non devi dimenticare di considerare comunque anche l'effetto del campo magnetico sulla forza elettromotrice. Le due equazioni di cui tenere conto sono:


Da cui:

A questo punto si hanno tre casi.

I)
Si ha:

Dove sono le radici reali e distinte dell'equazione

Le costanti e sono determinate dalle condizioni iniziali e , tuttavia non conosciamo e quindi resta una costante indeterminata.

II)
Si procede come sopra, solo che stavolta le radici sono complesse e al posto degli esponenziali compaiono delle funzioni sinusoidali:


III)
In questo caso si ha , e la soluzione ha la forma:


In ciascuno dei casi si può poi trovare dalla relazione .
Non penso che nel test fosse richiesta la soluzione esplicita dell'equazione differenziale, probabilmente bastava ottenere l'equazione e discuterla qualitativamente.

Grazie mille!
Scusa se rompo ma sono abbastanza alle prime armi, che tipo di discussione qualitativa si potrebbe fare senza risolvere l'equazione differenziale?

Una buona idea potrebbe essere quella di riscrivere l'equazione mostrando che essa esprime un bilancio energetico:


Nella seconda forma, quella tra parentesi assomiglia all'energia di un sistema oscillatorio, mentre il termine al secondo membro è negativo o nullo, quindi si può interpretare il fenomeno come la dissipazione di energia in un oscillatore, proporzionale al quadrato della velocità, il che porta a concludere che l'ampiezza delle "oscillazioni" decresce (e questo è proprio quanto succede nel caso II) di sopra).

Grazie mille

Scusatemi per l'ignoranza, ma davvero non capisco perchè v(t)=v0*e^((-B^2v0w^2)/Rm)t e non semplicemente v(t)=v0-((-B^2v0w^2)/Rm)t.
Ho cercato di venirne a capo ed ho pensato che la cosa più semplice fosse chiedere