172. Il fischio del treno

[Spätzle]

Un trenino percorre una traiettoria circolare di raggio e centrata nel punto , dove .
Il trenino emette inoltre un fischio con frequenza .
Sapendo che procede con velocità angolare costante in senso antiorario, qual è la frequenza percepita in ogni istante dall'osservatore posto in ?

[lance00]

avrò sicuramente sbagliato i conti ma tipo ?

[sg_gamma]

Io ho trovato un risultato identico, solo con il segno positivo.

[Spätzle]

Uno di voi due può postare il procedimento?

[lance00]

L'idea chiave è che bisogna considerare solo la componente della velocità parallela alla linea che congiunge sorgente e osservatore. Detto l'angolo che il raggio vettore forma rispetto all'asse x e l'angolo che la linea congiungente sorgente e osservatore forma con l'asse x, si ha che la velocità forma un angolo rispetto alla congiungente. Per il teorema dei seni da cui . vale quindi e usando la formula dell'effetto doppler si giunge alla formula che ho postato

[Spätzle]

A me torna.
@sg_gamma: perché ti viene un segno diverso? Con l'effetto Doppler la frequenza è con positiva se "punta" verso l'osservatore.

[lance00]

ma alla fine dipende da dove parte il treno (se il seno è sfasato di 180 viene + al posto del -). Inoltre il fatto che si muova in senso antiorario mi sembra irrilevante... ma forse ho capito male io

[sg_gamma]

A me torna.
@sg_gamma: perché ti viene un segno diverso? Con l'effetto Doppler la frequenza è con positiva se "punta" verso l'osservatore.

Io ho preso come riferimento il treno che parte alla sinistra del centro della traiettoria, per cui all'inizio il treno si allontana dall'osservatore (dunque la frequenza percepita è minore).
EDIT: Potrebbe essere interessante per qualcuno, io l'ho risolto mediante il prodotto scalare.

[Gamow00]

Per quanto riguarda la questione del segno, siccome la funzione trovata è periodica il segno non fa altro che traslarla nel tempo senza altre variazioni.

Scrivo invcece per dare una soluzione leggermente più semplice di quella già proposta. Piuttosto che considerare la componente parallela alla congiungente e farmi fregare dai calcoli, scrivo semplicemente (distanza del treno dall'osservatore) usando il teorema del coseno:

La derivata di questa distanza mi dice quanto il treno si sta allontanando dall'osservatore, che è proprio la velocità da inserire nell'effetto Doppler.

[Spätzle]

Secondo me (ma è solo la mia opinione), la soluzione più "elegante" è quella di Gamow00, perciò passo a lui il testimone.