SNS Pisa 2018 Problema 3 (Collasso di una nube di gas)

[Schrodingers_Bat]

Il collasso di una nube di gas a dare una stella è un processo complesso, tuttavia può essere affrontato con considerazioni relativamente semplici di analisi dimensionale. Si può assumere che una nube di gas sia un gas ideale monoatomico.
Una scala di lunghezza è instabile se il tempo impiegato dalle onde sonore per attraversarla = è maggiore del tempo dinamico =
perché la compressione gravitazionale non può essere bilanciata dalla pressione. In queste formule c = è la velocità del suono a temperatura assoluta T, k è la costante di Boltzmann, è la massa di un protone, p è la densità.
a. Determinare la minima massa che è instabile (o stabile? il testo diceva stabile ma i commissari sono passati a dire instabile) se si considera una sfera di raggio L/2 e esprimere il risultato in funzione della velocità del suono e della densità.
b. Nelle prima fase del collasso, il tempo di raffreddamento è molto minore del tempo dinamico. Dunque il calore prodotto dalla compressione viene immediatamente disperso, e si può considerare questa fase come isoterma. Mostrare che in questa fase diminuisce, e dunque il gas continua a frammentarsi in conglomerati sempre più piccoli.
c. Mostrare che il processo di frammentazione si arresta, con che cresce se la densità aumenta, quando il collasso diventa adiabatico.

Mi scuso in anticipo per eventuali mostruosità in LaTeX, ho imparato a usarlo tipo dieci minuti fa.

[nicarepo]

Inizio con il primo punto, dato che sono abbastanza sicuro del risultato. A tal proposito trovo significativo il fatto che abbiano sbagliato nel testo, che già di per sé non era granché comprensibile.
Allora: l'instabilità si ha per , dato che dipende dal diametro di una nube di gas (supposta sferica), per minimizzare come richiesto, si impone , quindi . Esprimendo in termini di massa e volume, e facendo i dovuti calcoli, si ricava:


Non era un punto eccessivamente complicato, il problema è che si trova pari pari su Wikipedia! https://it.wikipedia.org/wiki/Instabilit%C3%A0_di_Jeans
Da notare le ultime righe della pagina

[Schrodingers_Bat]

OK ottimo! per quanto riguarda gli altri due punti? io mi ero bloccato al b, perché la mia risoluzione mi sembrava troppo stupida.

[luigi]

per quanto riguarda il punto b, spiegato nei termini più semplici possibili, possiamo dire che: la trasformazione, come detto dal testo, è isoterma e perciò c rimane costante (essendo nell'espressione di c la temperatura l'unica variabile), tuttavia dato che il collasso è sostanzialmente un addensamento di materia, la densità aumenta e se si vuole mantenere l'uguaglianza già scritta da nicarepo, ad un aumento di densità deve per forza corrispondere una diminuzione della massa.

[Schrodingers_Bat]

Ok fantastico, se la soluzione è questa l'ho scritta. Per quanto riguarda il punto 3? Anche perché non mi sembrava chiarissimo: diceva che la massa aumenta all'aumentare della densità, ma a me sembrava che, se nella stessa sfera di raggio metti una densità più grande, la massa stabile diminuisce...

[nicarepo]

Sono d'accordo con quanto scritto in precedenza, ma vorrei far notare il seguente fatto: se la materia si addensa, diminuisce anche il volume della palla principale. Riscrivendo quella formula non in termini di densità, ma in termini di raggio, viene: .

[luigi]

Per il punto 3 era necessario utilizzare la legge dei gas ideali: poiché il processo è adiabatico si avranno delle variazioni di temperatura, in particolare un riscaldamento in caso di compressione oppure un raffreddamento in caso di espansione. Con la legge dei gas ideali si può dunque esprimere la temperatura come (N = numero di molecole). Andando a sostituire in si ottiene , in cui k si semplifica mentre rappresenta la densità. Poiché quest'ultima ha, nella funzione di , un esponente maggiore al numeratore rispetto al denominatore, all'aumentare dalla densità si avrà aumento anche di massa. Spero di essere stato chiaro

[nicarepo]

Avresti potuto benissimo ripetere gli stessi calcoli per il secondo punto arrivando a conclusioni sbagliate. Difatti non hai usato in alcun modo l'ipotesi che la trasformazione fosse adiabatica. Hai solo sostituito (variabile o meno poco importa) e hai fatto vedere che la densità in questo caso è al nominatore. Cosa ti impediva di farlo al punto precedente?

[luigi]

effettivamente me lo sono chiesto anche io, ma seguendo i passi del problema si tende a seguire un percorso come questo...
alla fine una delle due dimostrazioni escluderebbe l'altra (sempre ammesso che questi ragionamenti siano giusti), ma non ho trovato altre strade
tu come avresti fatto?

[Schrodingers_Bat]

Sono d'accordo con quanto scritto in precedenza, ma vorrei far notare il seguente fatto: se la materia si addensa, diminuisce anche il volume della palla principale. Riscrivendo quella formula non in termini di densità, ma in termini di raggio, viene: evidentemente in contrasto con quanto affermato prima.

Però il testo diceva che era la massima massa instabile su una scala di lunghezza (cioè credo su una sfera di diametro pari a) L/2, che teoricamente è sempre quella. Cioè credo chiedesse come varia la massa stabile all'interno di una porzione sferica di raggio al centro della stella, indicato con R(t) il raggio della stella che collassa al tempo t e con sempre uguale. Quindi, a rigor di logica, dovrebbe rimanere costante. No?