SNS 2010/2011 problema 3

[bozzio]

Considerate la corda inestensibile e di peso trascurabile e lunghezza L, avvolta attorno ad una carrucola di raggio R e alle cui estremità sono appesi inizialmente due corpi S e B di massa m. Il sistema è inizialmente in quiete e con i corpi S e B alla stessa quota, ma a t = 0 il corpo S inizia ad arrampicarsi sulla corda con una accelerazione costante a grazie ad un meccanismo interno. Il corpo raggiunge così una velocità e quindi rallenta con decelerazione uguale ad a in valore assoluto, fino a tornare in quiete. Tutte le velocità ed accelerazioni del corpo S si considerino sempre relative alla corda.
Assumendo che la corda non slitti mai sulla carrucola, determinare il moto dei due corpi nei seguenti casi:
3a. la carrucola ha massa trascurabile;
3b. la carrucola è un disco rigido omogeneo di massa M e momento di inerzia I = MR2/2.

[bozzio]

Per il punto a) avevo provato questo:
Quando il corpo S compie uno spostamento dx arrampicandosi sulla corda anche il corpo B farà uno spostamento dx verso l'alto. Infatti, la forza interna a S è relativa solamente alla corda e in un sistema esterno alla corda le uniche forze che agiscono sono le due forze peso che tendono a riequilibrarsi istante per istante. Dunque, posizionando un sistema di riferimento xy all'altezza dei corpi nell'istante t=0 si ha che i due corpi prima salgono e poi scendono nello stesso modo. Ciò comporta che se è l'accelerazione relativa alla corda di S, la sua accelerazione assoluta sarà , uguale a quella di B e la sua velocità assoluta sarà . Detto ciò il loro moto sarà: con e con e

[gilgamesh]

...salgono e poi scendono nello stesso modo. Ciò comporta che se è l'accelerazione relativa alla corda di S, la sua accelerazione assoluta sarà , uguale a quella di B..

Sono d'accordo con la tua soluzione, molto intuitiva nella prima parte. Io l'avevo affrontato in base alle tensioni considerando il caso più generale, cioè quando la carrucola è dotata di massa M. In questo caso infatti le due tensioni e sono diverse. In particolare:





Dato che, se il cilindro non ha massa le tensioni dovranno essere uguali, ( altrimenti l'accelerazione angolare del cilindro risulterebbe infinita ) allora si ottiene facilmente :

da cui quindi

[bozzio]

...salgono e poi scendono nello stesso modo. Ciò comporta che se è l'accelerazione relativa alla corda di S, la sua accelerazione assoluta sarà , uguale a quella di B..

Sono d'accordo con la tua soluzione, molto intuitiva nella prima parte.

Meno male dici che non va bene scritta così la dimostrazione?

[gilgamesh]

Meno male dici che non va bene scritta così la dimostrazione?

Secondo me è importante sottolineare perchè si ha questo tipo di moto , sostanzialmente quindi spiegare perchè le tensioni che agiscono sui due corpi sono le stesse (se la carrucola non ha massa) e di conseguenza le accelerazioni...
Poi io e te siamo sulla stessa barca, dovresti chiedere a qualcuno che abbia già affrontato questi test

[bozzio]

Ok grazie