Equivalenza tra orbita ellittica e orbita circolare
Equivalenza tra orbita ellittica e orbita circolare
Ho un po' di dubbi su questa equivalenza e chiedo quindi chiarimenti, che fanno sempre bene. E poi inauguro la nuova sezione mostrando anche quale tipo di discussioni possono pure essere aperte.
Ecco due elementi in comune delle orbite (strettamente connessi tra loro immagino):
(si suppone che siano tracciate da un corpo di massa attorno ad un corpo massivo di massa )
(1) Il periodo di un'orbita ellittica di asse maggiore è
.
Il periodo è lo stesso di un'orbita circolare di raggio .
(2) L'energia totale meccanica (definendo l'energia potenziale come differenza rispetto ad un punto a distanza infinita) dell' orbita ellittica è
.
La stessa dell'orbita circolare di raggio .
Come si possono spiegare/dimostrare (1) e (2) ?
Ecco due elementi in comune delle orbite (strettamente connessi tra loro immagino):
(si suppone che siano tracciate da un corpo di massa attorno ad un corpo massivo di massa )
(1) Il periodo di un'orbita ellittica di asse maggiore è
.
Il periodo è lo stesso di un'orbita circolare di raggio .
(2) L'energia totale meccanica (definendo l'energia potenziale come differenza rispetto ad un punto a distanza infinita) dell' orbita ellittica è
.
La stessa dell'orbita circolare di raggio .
Come si possono spiegare/dimostrare (1) e (2) ?
Re: Equivalenza tra orbita ellittica e orbita circolare
0)Un modo banale per dimostrare la formula del periodo è con la terza legge di Keplero. Ovviamente si può fare anche senza darla per scontata.
1)L'equazione differenziale del sistema a due corpi si risolve. Questa cosa è da tenere presente. Per risolverla ci vogliono un po' di trucchetti, perciò non vi consiglio di provarci da zero se non avete mai visto nulla del genere. In fondo a questo messaggio spiego sinteticamente (per quanto è possibile...) come si risolve. Comunque, risolvendola, se è il momento angolare e è l'energia, che si conserva, si trova un'ellisse di equazione (in coordinate polari):
con eccentricità:
2)Per calcolare l'area percorsa dal raggio vettore in un breve intervallo di tempo , abbiamo che:
(verifica: avete capito ogni passaggio?). Perciò, integrando su un periodo e usando che l'area dell'ellisse è :
Servono quindi alcune proprietà dell'ellisse. Si ha che (è una di quelle cose abbastanza facili da dimostrare mettendosi a fare il lavoro sporco con il teorema di pitagora); usando questo, e ricavando dall'eccentricità che è scritta sopra, si ottiene la formula del periodo.
Riguardo all'energia, si scrive la conservazione dell'energia e del momento angolare all'afelio e al perielio e si fanno i conti.
Soluzione dell'equazione differenziale.
Avvertenza: questa parte è molto difficile per il livello che si prevede in questo forum. È necessario sapere un po' di analisi, e si fa un uso piuttosto pesante delle coordinate polari e delle equazioni differenziali. Non è richiesto che sappiate risolvere la soluzione di questo problema alle Olimpiadi nè ai concorsi di ammissione per l'Università. Io la riporto perchè penso che questo sia un argomento interessante, e spero che riusciate a capirla. Se avete dei dubbi chiedete liberamente, ma se non avete mai sentito nominare la parola "derivata" questa parte probabilmente non fa per voi: non c'è nulla di male.
Vogliamo studiare l'orbita del corpo di massa intorno al corpo di massa , e assumiamo per semplicità e che il corpo più massivo sia fermo. Vogliamo risolvere il problema in coordinate polari. Poniamo l'origine in coincidenza del centro di forze.
Notiamo innanzitutto che il momento angolare rispetto all'origine si conserva, perchè l'unica forza agente su è centrale. Questo implica che il moto del corpo si svolge su un piano. Perciò sono sufficienti due coordinate.
Scegliamo di prendere il versore diretto dall'origine a , e il versore perpendicolare a , giacente sul piano del moto e con il verso tale che gli angoli siano positivi se misurati in senso antiorario. Indico con e le coordinate dell'angolo.
La posizione del corpo è data da:
(0)
Si può dimostrare che valgono le seguenti relazioni:
Utilizzando queste relazioni, derivando due volte la (0) è possibile ricavare l'accelerazione del punto nella forma:
La forza che agisce sul corpo è la forza dovuta alla gravità. Ponendo , si ha:
E usando , nelle direzioni radiale e tangenziale, abbiamo:
(1)
La seconda equazione equivale alla conservazione del momento angolare . La (1) è l'equazione differenziale da risolvere. Per utilizzare il momento angolare lo esprimiamo come:
E da questo ricaviamo le due seguenti identità (la seconda è una identità tra due operatori, ma potete anche considerarla come una identità tra due grandezze vere e proprie considerando e molto piccoli):
(2)
(3)
Si può adesso tornare all'equazione differenziale (1):
Si ricava dalla (2), e svolgendo alcuni calcoli si ottiene:
Adesso si vuole usare la (3); la si usa per sostituire la prima derivata temporale con una derivata rispetto all'angolo, portando fuori le costanti dalla seconda operazione di derivazione, ed ottenendo:
Facendolo di nuovo per eliminare la seconda derivata temporale e svolgendo alcuni calcoli si ottiene:
In questo modo ci siamo ricondotti ad una equazione differenziale (apparentemente molto brutta) che coinvolge solo e . Risolvendola, troveremo la relazione tra le due coordinate e quindi la forma dell'orbita.
Per risolverla, effettuiamo la sostituzione . Notiamo che si ha , perciò l'equazione differenziale si semplifica molto e diventa:
Portando il segno meno fuori dalla derivata e svolgendo alcuni calcoli si giunge all'equazione:
Che è formalmente uguale all'equazione del moto armonico con centro spostato dall'origine. La soluzione è del tipo:
Si può dimostrare che questa è l'equazione di una conica (ellisse, parabola, iperbole) in coordinate polari, avente un fuoco nell'origine ed eccentricità .
A questo punto non è troppo difficile ricavare in funzione dell'energia e degli altri parametri, perciò, se siete riusciti a capire fin qui, vi consiglio di provarci e provare ad esporre il vostro procedimento.
1)L'equazione differenziale del sistema a due corpi si risolve. Questa cosa è da tenere presente. Per risolverla ci vogliono un po' di trucchetti, perciò non vi consiglio di provarci da zero se non avete mai visto nulla del genere. In fondo a questo messaggio spiego sinteticamente (per quanto è possibile...) come si risolve. Comunque, risolvendola, se è il momento angolare e è l'energia, che si conserva, si trova un'ellisse di equazione (in coordinate polari):
con eccentricità:
2)Per calcolare l'area percorsa dal raggio vettore in un breve intervallo di tempo , abbiamo che:
(verifica: avete capito ogni passaggio?). Perciò, integrando su un periodo e usando che l'area dell'ellisse è :
Servono quindi alcune proprietà dell'ellisse. Si ha che (è una di quelle cose abbastanza facili da dimostrare mettendosi a fare il lavoro sporco con il teorema di pitagora); usando questo, e ricavando dall'eccentricità che è scritta sopra, si ottiene la formula del periodo.
Riguardo all'energia, si scrive la conservazione dell'energia e del momento angolare all'afelio e al perielio e si fanno i conti.
Soluzione dell'equazione differenziale.
Avvertenza: questa parte è molto difficile per il livello che si prevede in questo forum. È necessario sapere un po' di analisi, e si fa un uso piuttosto pesante delle coordinate polari e delle equazioni differenziali. Non è richiesto che sappiate risolvere la soluzione di questo problema alle Olimpiadi nè ai concorsi di ammissione per l'Università. Io la riporto perchè penso che questo sia un argomento interessante, e spero che riusciate a capirla. Se avete dei dubbi chiedete liberamente, ma se non avete mai sentito nominare la parola "derivata" questa parte probabilmente non fa per voi: non c'è nulla di male.
Vogliamo studiare l'orbita del corpo di massa intorno al corpo di massa , e assumiamo per semplicità e che il corpo più massivo sia fermo. Vogliamo risolvere il problema in coordinate polari. Poniamo l'origine in coincidenza del centro di forze.
Notiamo innanzitutto che il momento angolare rispetto all'origine si conserva, perchè l'unica forza agente su è centrale. Questo implica che il moto del corpo si svolge su un piano. Perciò sono sufficienti due coordinate.
Scegliamo di prendere il versore diretto dall'origine a , e il versore perpendicolare a , giacente sul piano del moto e con il verso tale che gli angoli siano positivi se misurati in senso antiorario. Indico con e le coordinate dell'angolo.
La posizione del corpo è data da:
(0)
Si può dimostrare che valgono le seguenti relazioni:
Utilizzando queste relazioni, derivando due volte la (0) è possibile ricavare l'accelerazione del punto nella forma:
La forza che agisce sul corpo è la forza dovuta alla gravità. Ponendo , si ha:
E usando , nelle direzioni radiale e tangenziale, abbiamo:
(1)
La seconda equazione equivale alla conservazione del momento angolare . La (1) è l'equazione differenziale da risolvere. Per utilizzare il momento angolare lo esprimiamo come:
E da questo ricaviamo le due seguenti identità (la seconda è una identità tra due operatori, ma potete anche considerarla come una identità tra due grandezze vere e proprie considerando e molto piccoli):
(2)
(3)
Si può adesso tornare all'equazione differenziale (1):
Si ricava dalla (2), e svolgendo alcuni calcoli si ottiene:
Adesso si vuole usare la (3); la si usa per sostituire la prima derivata temporale con una derivata rispetto all'angolo, portando fuori le costanti dalla seconda operazione di derivazione, ed ottenendo:
Facendolo di nuovo per eliminare la seconda derivata temporale e svolgendo alcuni calcoli si ottiene:
In questo modo ci siamo ricondotti ad una equazione differenziale (apparentemente molto brutta) che coinvolge solo e . Risolvendola, troveremo la relazione tra le due coordinate e quindi la forma dell'orbita.
Per risolverla, effettuiamo la sostituzione . Notiamo che si ha , perciò l'equazione differenziale si semplifica molto e diventa:
Portando il segno meno fuori dalla derivata e svolgendo alcuni calcoli si giunge all'equazione:
Che è formalmente uguale all'equazione del moto armonico con centro spostato dall'origine. La soluzione è del tipo:
Si può dimostrare che questa è l'equazione di una conica (ellisse, parabola, iperbole) in coordinate polari, avente un fuoco nell'origine ed eccentricità .
A questo punto non è troppo difficile ricavare in funzione dell'energia e degli altri parametri, perciò, se siete riusciti a capire fin qui, vi consiglio di provarci e provare ad esporre il vostro procedimento.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
Re: Equivalenza tra orbita ellittica e orbita circolare
Ho aggiustato la soluzione dell'equazione differenziale. In bocca al lupo a chi proverà a capirla!
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
Re: Equivalenza tra orbita ellittica e orbita circolare
Si confronta ciò che si è ottenuto con ciò a cui è simile:Pigkappa ha scritto: A questo punto non è troppo difficile ricavare in funzione dell'energia e degli altri parametri, perciò, se siete riusciti a capire fin qui, vi consiglio di provarci e provare ad esporre il vostro procedimento.
Emerge chiaramente che:
Sfruttando la (3) di sopra e si fanno i seguenti passaggi:
Con diversi calcoli ricaviamo dalla (1), sfruttando la (2) per sapere :
Possiamo ottenere quindi prima e poi :
Ora ponendo si ha con la semidistanza dei fuochi.
(per chiarezza basta guardare il disegno con relativo commento qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Ellisse )
Poichè per definizione, allora:
Dall'equazione sull'energia , quindi:
Ce l'ho fatta
Ops, è .Pigkappa ha scritto:
Grazie per la dimostrazione son riuscito anche a calcolare , che prima non ero riuscito a fare..
Re: Equivalenza tra orbita ellittica e orbita circolare
Non voglio aggiungere niente alla tua ineccepibile impostazione dell'equazione differenziale della traiettoria, né correggere nulla, ma confesso che nei passaggi mi sono un po' perso.Pigkappa ha scritto:....
Per contro ne ho sviluppati di miei che mi sembrano più semplici (in sostanza sono identici ai tuoi, ma presentati in modo che, forse, uno studente di liceo, bravo, li riesce a seguire meglio).
Parto dalle velocità radiale e trasversale delle coordinate polari:
effettuo subito un comodo cambio della coordinata r
da cui
da cui
In questo modo ho ottenuto l'effetto di aver eliminato fin da subito la variabile tempo.
Poi utilizzando una relazione inerente l'energia
da cui semplificando si perviene all'equazione differenziale finale
Re: Equivalenza tra orbita ellittica e orbita circolare
Quando ero più giovane, nell’era dei satelliti artificiali, mi posi l’obiettivo di trovare una soluzione del moto dei pianeti, accessibile agli studenti del biennio della scuola media superiore, senza utilizzare l’analisi matematica e la trigonometria. Riscontrai delle semplificazioni usando opportunamente la conservazione del momento angolare. Con questa tecnica anche il procedimento classico diventa più agevole:
Sostituendo r e delle prime due formule nell'equazione radiale del moto
e semplificando, si ottiene l’equazione differenziale cercata:
.
Sostituendo r e delle prime due formule nell'equazione radiale del moto
e semplificando, si ottiene l’equazione differenziale cercata:
.
Re: Equivalenza tra orbita ellittica e orbita circolare
C'è un modo per ricavare la forma dell'orbita senza fare tutti questi passaggi fastidiosi.
Chiamiamo ancora il vettore definito qua: olifis/phpBB3/viewtopic.php?f=12&t=493 . Per la cronaca, questo vettore è famoso e si chiama vettore di Lenz (e alcuni lo indicano con , altri con , altri ancora con (e poi sono costretti a cambiare nome al momento angolare, che diventa )). Se volete tornare alle notazioni di questo problema, potete usare al posto di e al posto di .
Chiamiamo l'angolo tra e (mi dispiace chiamare un angolo, ma purtroppo è notazione standard, anche se orribile; in questo problema si chiamava ).
Allora, calcolando il prodotto scalare ed usando che è costante e che il suo modulo è quello indicato in quel topic, si giunge all'equazione:
Dove ed . Perciò si dimostra così che l'orbita è un ellisse con semilato retto ed eccentricità pari a quei valori, e che punta dal fuoco al pericentro.
Se vi interessa ricostruire tutto, potete affrontare da zero il problema di due particelle legate dalla forza gravitazionale, ridurvi al problema di una sola particella, ricavare la forma dell'orbita con il trucco del vettore di Lenz, ricavare eccentricità, semiasse maggiore e semiasse minore in funzione delle costanti del moto, e infine dimostrare la terza legge di Keplero. Ci sono un po' di conti da fare, ma è tutto elementare.
Chiamiamo ancora il vettore definito qua: olifis/phpBB3/viewtopic.php?f=12&t=493 . Per la cronaca, questo vettore è famoso e si chiama vettore di Lenz (e alcuni lo indicano con , altri con , altri ancora con (e poi sono costretti a cambiare nome al momento angolare, che diventa )). Se volete tornare alle notazioni di questo problema, potete usare al posto di e al posto di .
Chiamiamo l'angolo tra e (mi dispiace chiamare un angolo, ma purtroppo è notazione standard, anche se orribile; in questo problema si chiamava ).
Allora, calcolando il prodotto scalare ed usando che è costante e che il suo modulo è quello indicato in quel topic, si giunge all'equazione:
Dove ed . Perciò si dimostra così che l'orbita è un ellisse con semilato retto ed eccentricità pari a quei valori, e che punta dal fuoco al pericentro.
Se vi interessa ricostruire tutto, potete affrontare da zero il problema di due particelle legate dalla forza gravitazionale, ridurvi al problema di una sola particella, ricavare la forma dell'orbita con il trucco del vettore di Lenz, ricavare eccentricità, semiasse maggiore e semiasse minore in funzione delle costanti del moto, e infine dimostrare la terza legge di Keplero. Ci sono un po' di conti da fare, ma è tutto elementare.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
Re: Equivalenza tra orbita ellittica e orbita circolare
dato che l'argomento mi interessa... ci sono delle formule in latex che non si visualizzano (a meno che non sia il mio computer) nel post di PigKappa!
Re: Equivalenza tra orbita ellittica e orbita circolare
Basta premere "Citazione" e leggere il codice, avresti visto che c'era sempre una parentesi graffa chiusa di troppo dopo theta. Riporto la parte incriminata corretta:Luke ha scritto:dato che l'argomento mi interessa... ci sono delle formule in latex che non si visualizzano (a meno che non sia il mio computer) nel post di PigKappa!
Pigkappa ha scritto: [...]
Utilizzando queste relazioni, derivando due volte la (0) è possibile ricavare l'accelerazione del punto nella forma:
La forza che agisce sul corpo è la forza dovuta alla gravità. Ponendo , si ha:
E usando , nelle direzioni radiale e tangenziale, abbiamo:
(1)
La seconda equazione equivale alla conservazione del momento angolare . La (1) è l'equazione differenziale da risolvere. Per utilizzare il momento angolare lo esprimiamo come:
E da questo ricaviamo le due seguenti identità (la seconda è una identità tra due operatori, ma potete anche considerarla come una identità tra due grandezze vere e proprie considerando e molto piccoli):
(2)
(3)
Si può adesso tornare all'equazione differenziale (1):
Si ricava dalla (2), e svolgendo alcuni calcoli si ottiene:
[...]