Come si risolvono?
Pendolo di Foucault
Pendolo di Foucault
Le equazioni del moto del pendolo, tenuto conto della forza di Coriolis, sono
 x + 2\Omega_z dy/dt = -\omega^2 x + 2\Omega_z dy/dt)
 y - 2\Omega_z dx/dt = -\omega^2 y - 2\Omega_z dx/dt)
E' la componente del vettore velocità angolare terrestre sull'asse z, cioè quello perpendicolare alla sperficie nel punto in cui si trova il pendolo. Il piano xy è definito di conseguenza ed è quello tangente alla superficie
Come si risolvono?
e vari pasticci?
Come si risolvono?
Ultima modifica di AxxMan il 2 ago 2011, 7:24, modificato 1 volta in totale.
Re: Pendolo di Foucault
Sono in vacanza e non posso mettermi sul serio a fare i conti. Mi pare si usasse un cambio di variabili strano, definendo 
(
unità immaginaria, cioè 
è complesso). Provaci...
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: Pendolo di Foucault
Che sbadato, xy è tangente, non normale... L'asse normale alla superficie è z, su cui il pendolo compie oscillazioni trascurabili rispetto a quelle su x e y se l'ampiezza iniziale è piccola (per avere un'oscillazione isocrona). Il cambio di variabile è sempre quello, cioè avevi capito cosa volessi dire anche se ho sbagliato a scrivere? O forse la tua z non è quella che intendo io e serve solo come variabile ausiliaria (più probabile)
Re: Pendolo di Foucault
Moltiplicando la seconda equazione per i e sommando membro a membro abbiamo
 + 2\Omega_z (dy/dt+idx/dt))
Vale che anche con funzioni complesse che la somma delle derivate è uguale alla derivata della somma? Allora ponendo
abbiamo
Con l'aiuto del libro di analisi, la soluzione generale vale
=e^{-i\Omega_z t}(c_1 cos{(\sqrt{\Omega_z^2+\omega^2})t}+c_2 sen{(\sqrt{\Omega_z^2+\omega^2})t}))
. Poichè la velocità angolare del pendolo è molto minore di quella terrestre, si può trascurare nella forula precedente, e detta l la latitudine del pendolo, 
è periodica di 
, come ci ricorda Wikipedia! Questo risultato vale anche come velocità angolare costante di rotazione? Come faccio a dimostrarlo? Ho provato a scomporre scomporre nelle componenti con 
e 
complessi, ma non riesco a cavarne nulla, forse funziona se impongo condizioni iniziali che mi vanno bene. Si dovrebbe poter mostrare che ad ogni oscillazione di periodo t il pendolo ruota di 
e forse basta dire che è così per simmetria del moto del pendolo... Forse funziona porre |)
=|)
, trovare le componenti di \lambda(t) e trovare di quanto si sono spostate, ma sono davvero tanti calcoli...
Vale che anche con funzioni complesse che la somma delle derivate è uguale alla derivata della somma? Allora ponendo
Con l'aiuto del libro di analisi, la soluzione generale vale
Re: Pendolo di Foucault
Vorrei aggiungere un'altra cosa... Per il pendolo di Foucault si dice spesso che visto da un sistema inerziale, il pendolo rimane sempre sullo stesso piano di oscillazione (o meglio un piano parallelo), ma se si vuole intendere questo piano come un effettivo piano dello spazio, secondo me questa affermazione è falsa. Infatti l'unica informazione che abbiamo è che il pendolo non è soggetto mediamente a forze tangenziali alla superficie terrestre, per cui rimane parallelo a se stesso solo nel piano di sviluppo del cono che ha per base la circonferenza percorsa dal pendolo è vertice l'intersezione tra le tangenti alla circonferenza per una data latitudine e l'asse terrestre, perchè è questo il piano su cui possono essere disposte le tangenti alla sfera. Questo non è ovviamente un vero piano dello spazio. Interpretando in questo modo si ottiene lo stesso risultato ricavato dal sistema non inerziale. Consiglio di non scervellarsi come ho fatto io a cercare questo famoso piano di oscillazione che non varia, a meno che non abbia detto cavolate