velocità angolare

[Morley]

La velocità angolare di un oggetto puntiforme cambia a seconda del riferimento scelto?
Per spiegarmi meglio: la velocità lineare di un oggetto non cambia se la misuro prima da un certo sistema di riferimento e poi da un altro semplicemente ruotato o traslato rispetto al primo.
Tuttavia facendo qualche semplice disegno mi sembra che questo fatto non valga per la velocità angolare ( cioè non vale se cambio il vertice dell'angolo e la semiretta di riferimento). Che mi dite?

[Ippo]

Devi aver fatto male i tuoi disegnini

Si tratta, più in generale, di dimostrare che la velocità angolare è ben definita come vettore, il che ti dà automaticamente che il modulo è lo stesso in tutti i sistemi di coordinate per un dato riferimento inerziale (traslazioni/rotazioni quindi non lo alterano), e che inoltre la sua direzione si comporta bene sotto rotazioni.

Per vedere che è in effetti un vettore possiamo darne questa definizione:

- sia il raggio vettore dal centro di massa ad un certo punto P del corpo rigido in un istante
- sia il lo stesso raggio vettore valutato all'istante , un po' di tempo dopo
- prendiamo la quantità . Questa è una differenza di vettori per un numero, quindi è un vettore.
- facciamo il limite per e otteniamo un vettore che chiamiamo (che fantasia)
- ora affermiamo che esiste un unico vettore tale che si abbia . Questo è vero perché il vincolo di rigidità (il corpo rigido non si deforma, le distanze restano uguali) impone che : se avesse una componente parallela a il nostro punto P si starebbe avvicinando al centro di massa e questo non è ammesso. Allora abbiamo che il modulo di è fissato e vale , che la direzione è la perpendicolare al piano individuato da e e che il verso è quello dei due possibili che fa tornare correttamente il segno; queste informazioni si possono riassumere nella formula



Questo è effettivamente un vettore: il numeratore lo è chiaramente, e il denominatore è il quadrato della distanza dal centro di massa a P, che è la stessa in tutti i sistemi di coordinate traslati/ruotati. Quindi abbiamo un prodotto vettoriale di vettori diviso una costante, che fa un vettore.

Un punto che non è evidente da questa definizione è che essa non dipende dalla scelta del punto P che abbiamo fatto all'inizio. Deve essere così per il vincolo di rigidità del corpo (se questa "velocità angolare" variasse da punto a punto è abbastanza intuitivo che il corpo dovrebbe deformarsi), ma la dimostrazione di questa cosa ce la possiamo risparmiare: quanto scritto basta comunque a vedere che, se c'è una "velocità angolare" sensatamente definita per tutti i punti del corpo, allora deve essere un vettore e non può essere una cosa che trasforma a caso sotto rototraslazioni.

Spero di non averti confuso ancora di più.

[Morley]

Il tuo ragionamento mi convincerebbe completamente, ma ci sono due casi specifici che mi lasciano ancora il dubbio. Li illustrerò:
1) Questo è il famoso caso in cui studio il moto rettilineo di un punto materiale utilizzando variabili angolari. Se scelgo come semiretta di riferimento (per gli angoli) una semiretta qualsiasi che non abbia origine sulla traiettoria rettilinea del punto materiale la velocità angolare è diversa da zero, se invece l'origine e sulla traiettoria, la velocità angolare è uguale a zero (non c'è possibilità di misurare alcuna variazione nell'angolo)
2) In questo caso considero un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme. Proprio come la velocità angolare, anche l'accelerazione angolare è un vettore, di conseguenza anche il suo valore dovrebbe essere unico (indipendentemente da vari riferimenti scelti) . In questo caso applicherò la famosa prima calcolando rispetto al centro della circonferenza, ottenedo per il valore di 0, poi calcolerò rispetto ad un punto L della circonferenza, per esempio nell'istante in cui il punto materiale si trova ad una distanza da L pari a (a spiegarla a parole tale situazione sembra contorta, ma semplifica molto ogni calcolo). Così ottengo per il valore di .

[floppino81892]

1)Mi sa che hai confuso velocità angolare con il momento angolare
2)Non capisco come hai raggiunto quel risultato ma ovviamente l'accelerazione angolare è costante nel moto circolare uniforme
(adesso non voglio mettermi a scrivere formule perchè sono stanco morto e potrei dire delle sciocchezze )

[Pigkappa]

Secondo me Morley ed Ippo non si sono capiti molto bene.

Morley parla della velocità angolare come l'angolo spazzato da un corpo puntiforme in un certo tempo. È assolutamente evidente che questa cosa dipende dal punto da cui si guarda il corpo. D'altra parte, questa "velocità angolare" è una grandezza totalmente irrilevante in quasi tutti i casi proprio perchè dipende dal punto da cui si osserva il moto, e diventa sensato considerarla solo in casi particolarissimi (corpo in moto circolare, o altri rari casi). È molto meglio usare la velocità vera e propria.

Invece, Ippo ha parlato di un'altra cosa (un corpo rigido in rotazione intorno ad un certo asse).

la famosa

È meglio se te la dimentichi. La formula che devi ricordare su queste cose è:

[Morley]

Scusate tanto ma per un pò non potrò rispondere.

[Morley]

Ho potuto riflettere un poco sulle vostre risposte. Effettivamente io intendo la velocità angolare di un punto materiale come rapporto (o limite del rapporto per delta t tendente a zero) dell'angolo spazzato e dell'intervallo di tempo corrispondente, e non vedo come altro si possa intenderla! Una velocità angolare così definita, come conferma Pigkappa, realmente dipende dal riferimento. Per un corpo rigido in effetti la cosa ha un senso differente, poichè la velocità angolare con cui ruota un corpo rigido mi pare corretto intenderla come la velocità angolare COMUNE ad ogni punto del corpo rigido, e se non la si calcola rispetto all'asse di rotazione essa non è la stessa per tutti i punti del corpo, quindi in questo caso esiste una sola velocità angolare "utile", quella calcolata rispetto all'asse di rotazione.

Riguardo alla formula citata da Pigkappa, io non so ancora come affrontare le derivate nè a maggior ragione le derivate di vettori, inoltre lo stesso Halliday utilizza la formula da me ricordata per studiare moti rotatori elementari (come quelli che incontro io). Dunque io chiedo: in ho un momento torcente calcolato rispetto ad un punto (diciamo P),poi un momento di inerzia calcolato rispetto allo stesso punto (sempre P), allora rispetto a quale punto è calcolata l'accelerazione angolare (abbiamo detto che la velocità angolare dipende dal riferimento, quindi anche l'accelerazione angolare...)?

[Pigkappa]

Questa vale per un corpo rigido che ha momento di inerzia rispetto ad un certo asse, e ruota solamente intorno a tale asse. Non puoi usarla scegliendo di guardare la situazione da un punto qualsiasi dello spazio, nè puoi usarla per sistemi più complessi (e già un sistema formato da due particelle che si muovono indipendentemente è "complesso" in questo senso).

Inoltre, visto che non vuoi usare derivate o integrali, probabilmente l'Halliday ti chiede di usarla solamente nel caso in cui è costante (ma sono fiducioso che presto arriverà a trattare il momento angolare).

Come vedi, puoi usare quella formula solo in casi molto particolari che non hanno neanche grandissima rilevanza fisica (il moto rettilineo uniformemente accelerato si incontra spesso; il moto circolare con accelerazione angolare costante è piuttosto insignificante).

un momento di inerzia calcolato rispetto allo stesso punto (sempre P)

Un momento di inerzia si calcola rispetto ad un asse, non ad un punto.

[Morley]

Ok, grazie Pigkappa. La rotazione è un argomento complesso.

[Pigkappa]

Insomma, diciamo che ci sono cose un po' più complicate .