funzione d'onda di un elettrone in moto unidimensionale...

[stefano mazzei]

scusate vorrei farvi una domanda, se avete voglia e pazienza di leggere e rispondere, circa le basi della meccanica quantistica.



sul libro mio (halliday versione liceale incolto -volume di fisica moderna) quando parla dell'equazione di schrodinger, per fare un esempio, dice di considerare un elettrone in moto unidimensionale, e poi fa vedere che la funzione quadrato del valore assoluto della funzione d'onda viene una costante, a patto che in ogni punto dello spazio considerato l'energia potenziale sia zero.


fin qui ci arrivo: se ho un onda di probabilità che si propaga in una regione dove le forze sono nulle, in un dato istante - il libro suggerisce di tirare fuori la dipendenza dal tempo da psi(x,y,z,t) e di lavorare su psi(x,y,z) anzi solo su psi(x) visto che il moto è unidimensionale- mi pare abbastanza normale che l'elettrone abbia stessa probabilità di trovarsi in una certa x piuttosto che in un altra, che insomma sia delocalizzato. stiamo parlando di onde di probabilità, che diamine.


la cosa che però mi turba è quell'aggettivo: unidimensionale. Il libro parla di una particella - un'onda di materia - in moto lungo l'asse x. il fatto è che "unidimensionale" mi sembra pericolosamente vicino all'idea di "moto rettilineo" che non va assolutamente bene, a sua volta, perché il concetto di traiettoria non appartiene al mondo quantistico, a meno che non c'abbia capito nulla. in pratica, mi risulta difficile immaginare come una particella di cui si conosce il momento, possa considerarsi delocalizzata su una retta parallela alla direzione di avanzamento tra le altre cose

per cui io l'avevo interpretato così : unidimensionale vuol solamente dire che siccome mettere x,y,e z veniva fuori un casino pauroso, allora lui usa la dicitura "x" per designare le incognite spaziali nella loro totalità, e quindi il fatto che il moto sia unidimensionale significa che una particella dotata di energia E non sottoposta a forza alcuna, e delocalizzata nello spazio con densità di probabilità uniforme.


può starci?? grazie delle eventuali risposte

[Pigkappa]

per cui io l'avevo interpretato così : unidimensionale vuol solamente dire che siccome mettere x,y,e z veniva fuori un casino pauroso, allora lui usa la dicitura "x" per designare le incognite spaziali nella loro totalità

No, non è proprio così. Quando si dice che si fa una cosa nel caso unidimensionale, la "x" indica effettivamente una sola variabile e non contiene anche le altre due. In questo caso si fanno i conti usando le equazioni della meccanica quantistica nel caso unidimensionale; ad esempio, è intuitivo che il gradiente, che in tre dimensioni è il vettore , nel caso unidimensionale sia semplicemente ; allo stesso modo il laplaciano diventa la derivata seconda rispetto ad x.

Nella realtà il problema non sarà mai veramente unidimensionale, ma ci possono essere dei casi in cui possiamo fare questa approssimazione. Immagina ad esempio che il potenziale sia nullo vicino alla retta e cresca moltissimo quando o si allontanano da zero. Allora è chiaro che la funzione d'onda sarà significativamente grande solo vicino all'asse delle x, e ci si limita ad affrontare il problema unidimensionale.

Quello che dici dopo comunque è vero:

una particella dotata di energia E non sottoposta a forza alcuna, è delocalizzata nello spazio con densità di probabilità uniforme.

Esiste infatti un semplice teorema che in alcuni casi permette di risolvere separatamente il problema per le variabili x, y e z (risolvendo quindi tre problemi unidimensionali), e la funzione d'onda complessiva è il prodotto delle tre funzioni d'onda che si sono trovate in questo modo. Questo vale anche nel caso in cui .

[stefano mazzei]

mi dici un'altra cosa?
ma a regola non dovrebbe aumentare la probabilità di trovarlo più avanti, al trascorrere del tempo? e allora perché mi dice che è uniforme in ogni punto, in un dato istante??

il discorso è : se io so quando viene emesso, e so pure l'energia ( e se so l'energia so senza incertezze pure il momento) allora non dovrei, senza fare misurazioni, ma solo concettualmente, e quindi senza misurare il sistema , trovarmi senza incertezze pure la posizione?
oppure, senza ricorrere a eresie tipo applicare le leggi di Newton al mondo subatomico, come ho detto non dovrebbe aumentare la probabilità ...?


ma così heisenberg e la delocalizzazione vanno a farsi benedire...

...a meno che -e trattando le variabili spaziali e temporali alla stessa maniera dovrebbe fungere- sapere l'istante di emissione non equivalga in certa maniera a conoscere la posizione.

mi spiego: io l'istante dell'emissione dell'elettrone, mica lo posso assumere arbitrariamente senza incertezze, devo necessariamente presumere che per trovarlo sia costretto a usare un onda elettromagnetica, o altro, che comunque perturberebbero il sistema, dico bene? e così si salva l'indeterminazione...

[Pigkappa]

ma a regola non dovrebbe aumentare la probabilità di trovarlo più avanti, al trascorrere del tempo?

Innanzitutto, noi stiamo trattando di un elettrone che si trova in una zona di potenziale nullo. È chiaro che è una situazione impossibile, perchè abbiamo trovato che la funzione d'onda è uniforme, e quindi non è normalizzabile, quindi questo risultato non può descrivere davvero una situazione fisica.

Inoltre, si può dimostrare che la funzione d'onda di quell'elettrone rimarrà uniforme per sempre. Non possiamo dire che tra un po' di tempo si troverà "più avanti", perchè adesso la sua funzione d'onda è uniforme, quindi lui è un po' dappertutto; rispetto a quale origine dovrebbe trovarsi più avanti, se non possiamo distinguere un punto da un altro?

se io so quando viene emesso, e so pure l'energia ( e se so l'energia so senza incertezze pure il momento) allora non dovrei, senza fare misurazioni, ma solo concettualmente, e quindi senza misurare il sistema , trovarmi senza incertezze pure la posizione?

Intanto, non ho capito cosa vuol dire che sai quando viene emesso. Non abbiamo definito in alcun modo un'origine dei tempi; stiamo facendo il caso in cui il potenziale non dipende dal tempo . Se invece il potenziale dipende dal tempo, l'equazione di Schroedinger contiene un termine in più rispetto a quella che penso tu abbia visto, e il problema diventa un po' più complicato.

Comunque, anche sapendo l'energia e quindi il momento senza incertezze, non capisco perchè dovresti conoscerne anche la posizione.

Anzi, riguardo al principio di indeterminazione (che però puoi avere visto solo in modo approssimativo, perchè la questione è un po' delicata; giusto per spaventarti, ti dico che e nell'enunciato corretto sono operatori, cioè funzioni che agiscono sulla funzione d'onda del sistema) , direi che implica . E infatti la funzione d'onda è uniforme, quindi su non abbiamo nessuna informazione, e direi che in un certo senso l'incertezza è infinita.

Purtroppo per capire bene come funzionano queste cose ci vuole parecchia matematica, e non sono sicuro che tu riusciresti a seguirmi e che io riuscirei a spiegarle per bene.

[stefano mazzei]

si però è ragionevole pensare che io sappia dove si trova la mia sorgente di elettroni, visto che l'esperimento lo preparo io, e quindi conosca la posizione iniziale, che avrei cura di far coincidere con l'origine dell'asse (il punto x=0 per intenderci)

a meno che la frase "un elettrone in moto unidimensionale"


non sia da intendere come " una sorgente emette un elettrone del quale io conosco l'energia e quello si muove senza essere soggetto a forza alcuna"

bensì come:"una misteriosa particella di cui io non so nulla di nulla, a parte massa e velocità (e carica, ma ce ne freghiamo), è in moto in un certo verso e in una certa direzione, in una regione a potenziale 0..."


in questo caso sarebbe comprensibilissima la delocalizzazione. o no?

se ho ben capito il punto focale della questione è che noi tutto ignoriamo, tranne la velocità (e la massa), e il potenziale. Ergo: Fino a che non si compie una rilevazione, dunque, la nostra particella è egualmente distribuita sull'asse x. D'accordo?? ci può stare?




e poi mi sfugge come mai dovrebbe essere una situazione impossibile che ci sia potenziale 0. Un caso limite magari, ma impossibile...? Io me la posso anche immaginare una particella che viaggia nel vuoto interstellare, della quale non conosco niente, tale che le interazioni gravitazionali e elettrostatiche siano trascurabili. non sarebbe un caso del genere?


se ho ben capito il punto focale della questione è che noi tutto ignoriamo, tranne la velocità (e la massa).

[Pigkappa]

non sia da intendere come " una sorgente emette un elettrone del quale io conosco l'energia e quello si muove senza essere soggetto a forza alcuna"

Sì, è da intendere così. Trattare l'elettrone come un'onda di materia è un'approssimazione che in qualche caso si usa, ma proprio per quello che è venuto fuori ( uniforme) non possiamo includere in questo risultato un'origine dei tempi.

Comunque ti faccio notare che la parola "moto" qua c'entra abbastanza poco, e parlerei piuttosto di particella libera nel caso unidimensionale, piuttosto che di particella in moto. Noi descriviamo la situazione ad un certo istante, e non descriviamo l'evoluzione temporale del sistema.

Fino a che non si compie una rilevazione, dunque, la nostra particella è egualmente distribuita sull'asse x. D'accordo?? ci può stare?

Sì, è così.

non sarebbe un caso del genere?

Sì, sarebbe un caso del genere. Però se vuoi determinare la probabilità che la particella sia tra la posizione ed , ti serve che la funzione d'onda sia normalizzabile, e se è uniforme per tutti gli allora non lo è. Se da un certo punto in poi smette di esserlo, come nel caso della particella libera nello spazio (in cui da qualche parte c'è per forza una buca o una barriera di potenziale) allora funziona tutto.


Prova a pensare a questa cosa totalmente scorrelata. Un decadimento comune è . Supponiamo che non ci sia nessuna particella nelle sue vicinanze che possa interagire con le eventuali particelle emesse (quindi, ovviamente, non ci sono nostri rivelatori che cerchino il protone o l'elettrone). Allora, da un punto di vista quantistico, si può dire se, dopo un certo tempo, il decadimento è avvenuto oppure no?
Ad esempio diciamo che mettiamo un rivelatore che può rivelare il neutrino ad un anno luce da lì. Visto che il neutrino ci mette un annetto a percorrere questa distanza, quale sarà lo stato del sistema quando ancora il neutrino non sarà arrivato da noi?

[se qualcuno che capisce di queste cose si rende conto che dico stupidaggini, mi fermi...]