Applicazione teorema limite centrale
Inviato: 17 giu 2011, 22:34
Mi è stato proposto questo esercizio a voce, forse manca qualche informazione nella traccia.
Una ridente cittadina è formata da abitazioni rifornite di corrente da una centrale elettrica. In un dato momento, ciascuna abitazione starà consumando una quantità di corrente elettrica. Tale consumo è una variabile aleatoria, la cui funzione di distribuzione è uniforme.
L'intervallo di variabilità di x è (sarebbero kW, ma non importa in questa sede).
Calcolare la potenza che la centrale deve erogare per ridurre il rischio di black out a .
(Postato nella sezione sperimentale perchè comporta l'utilizzo di concetti statistici tipici dell'analisi dati sperimentali.)
Le idee di partenza sono:
Il consumo complessivo di energia è dato da:
dove rappresenta l'energia usata dall'i-esima casa.
Il teorema del limite centrale assicura che su un campione sufficientemente ampio di variabili aleatorie, la funzione S ha una distribuzione di probabilità gaussiana. Allora il consumo medio dell'intero villaggio è:
, con .
Perciò: .
Inoltre la varianza risulta essere la somma dei contributi delle varianze associate a ciascuna variabile:
.
Perchè la rete tenga, è necessario, nella peggiore delle ipotesi, fornire una potenza pari a , ma in tal caso la probabilità di blackout sarebbe: .
In realtà non si vuole il rischio azzerato, ma ridotto ad una probabilità comunque irrisoria.
Il teorema di Tschebyschev permette di sapere che:
Questo significa che se al posto di x si usa S, la probabilità che il consumo istantaneo dell'intero villaggio si discosti dalla media entro un 'raggio' di ampiezza è minore o ugale del reciproco del quadrato di k. Come usare questo fatto nella risoluzione del problema? (sempre che sia utile)
In realtà si ha che S è a distribuzione gaussiana, quindi il pericolo di blackout si verifica quando S si spinge verso il lato destro del grafico, ma per valutare questo serve riscalare S per avere la gaussiana standard?
Come formalizzare in termini quantitativi la probabilità di blackout?
Una ridente cittadina è formata da abitazioni rifornite di corrente da una centrale elettrica. In un dato momento, ciascuna abitazione starà consumando una quantità di corrente elettrica. Tale consumo è una variabile aleatoria, la cui funzione di distribuzione è uniforme.
L'intervallo di variabilità di x è (sarebbero kW, ma non importa in questa sede).
Calcolare la potenza che la centrale deve erogare per ridurre il rischio di black out a .
(Postato nella sezione sperimentale perchè comporta l'utilizzo di concetti statistici tipici dell'analisi dati sperimentali.)
Le idee di partenza sono:
Il consumo complessivo di energia è dato da:
dove rappresenta l'energia usata dall'i-esima casa.
Il teorema del limite centrale assicura che su un campione sufficientemente ampio di variabili aleatorie, la funzione S ha una distribuzione di probabilità gaussiana. Allora il consumo medio dell'intero villaggio è:
, con .
Perciò: .
Inoltre la varianza risulta essere la somma dei contributi delle varianze associate a ciascuna variabile:
.
Perchè la rete tenga, è necessario, nella peggiore delle ipotesi, fornire una potenza pari a , ma in tal caso la probabilità di blackout sarebbe: .
In realtà non si vuole il rischio azzerato, ma ridotto ad una probabilità comunque irrisoria.
Il teorema di Tschebyschev permette di sapere che:
Questo significa che se al posto di x si usa S, la probabilità che il consumo istantaneo dell'intero villaggio si discosti dalla media entro un 'raggio' di ampiezza è minore o ugale del reciproco del quadrato di k. Come usare questo fatto nella risoluzione del problema? (sempre che sia utile)
In realtà si ha che S è a distribuzione gaussiana, quindi il pericolo di blackout si verifica quando S si spinge verso il lato destro del grafico, ma per valutare questo serve riscalare S per avere la gaussiana standard?
Come formalizzare in termini quantitativi la probabilità di blackout?