Re: SNS n. 6, 2024/1

[Higgs]

Edit. Si tratta di un problema lunghissimo senza la difficoltà delle figure ma riguarda l'analisi dimensionale. E' diviso praticamente in 4 sottoproblemi sull'argomento. Ne formulerò uno alla volta e dopo alcuni giorni posterò la mia proposta di soluzione.


L'analisi dimensionale ha un ruolo centrale in Fisica, perché consente di legare diverse quantità sulla base delle loro dimensioni fisiche . Usiamo l'analisi dimensionale per dedurre alcune proprietà dei buchi neri.
1. Trovare la velocità di fuga da un pianeta sferico in termini della costante di Newton , della massa M del pianeta e del suo raggio R.
Un buco nero è un corpo estremamente denso circondato da una superficie sferica ideale e il suo orizzonte dal quale nulla può uscire se c, la velocità della luce, è la massima velocità possibile. Legare la dimensione dell'orizzonte di un buco nero sferico alla costante di Newton, alla massa M del buco nero e alla velocità della luce c utilizzando il precedente risultato.

[Higgs]

Come era prevedibile non essendoci alcuna risposta propongo la mia soluzione dell'SNS di cui all'oggetto. La premessa è che considero il Sistema Internazionale di unità di misura nel quale sono grandezze fondamentali la lunghezza L, la massa M, il tempo T , l'intensità di corrente con unità di misura l'ampere A, la temperatura con unità di misura il grado Kelvin °K, la quantità di sostanza con unità di misura la mole e l'intensità luminosa con unità di misura la candela.
La velocità di fuga definita come quella velocità che consente di portare un pianeta o un satellite dall'attrattore M all'infinito con velocità nulla è rappresentata da dove G è la costante di Newton , M è la massa dell'attrattore ed R è il raggio dell'orbita seguita dal pianeta o dal satellite.
La dimensioe di è mentre quella della costante di Newton è sulla base della legge stessa e componendo le due risulta in definitiva Pertanto la dimensione dell'orizzonte di un buco nero risulta

[Higgs]

Si può ora procedere con l'analisi dimensionale verso argomenti di frontiera.
2. a) La " costante di struttura fine" è una quantità adimensionale che controlla le correzioni quantistiche alla legge di Coulomb fra una coppia di elettroni. Usando nozioni basilari di Elettrostatica, trovare l'espressione di in termini della carica e dell'elettrone, della costante di Planck , della costante dielettrica del vuoto e della velocità della luce c.
b) Trovare la forma della controparte di per la gravità basandosi sull'analogia fra le leggi di Coulomb e di Newton e su . Mostrare che cresce quantitativamente con l'energia degli elettroni al quadrato
c) A quale energia diventa di ordine 1 ? Questa energia viene detta "Energia di Planck ".

[Higgs]

2a) Sulla base della legge di Coulomb fra due elettroni è facile dedurre che ha le dimensioni di una forza per una distanza al quadrato ovvero che si misura in esattamente come la quantità Pertanto la quantità che rappresenta il loro rapporto risulta una quantità adimensionale e si può scrivere come
che risulta adimensionale espressa con le grandezze richieste.
2b) La controparte gravitazionale si può trovare considerando la legge gravitazionale e l'energia di riposo di . Infatti l'energia gravitazionale si può scrivere dalla legge di gravitazione come e altrettanto l'energia di riposo . Pertanto risulta adimensionale e in funzione delle grandezze richieste la controparte gravitazionale

2c) Quando l'energia dei due elettroni uguaglia l'energia della massa a riposo si dice che rappresenta l'energia di Planck. Insomma l'energia di Planck è quella della massa a riposo. Allora diventa di ordine 1.

[Higgs]

3. Trovare la dipendenza della temperatura di un buco nero ( tenendo conto del fatto che è inversamente proporzionale allasua massa M) da M, ,la velocità della luce c e la costante di Boltzmann . Perchè in questo caso è necessario fornire la dipendenza da M?

[Higgs]

3) L'intensità di emissione di un corpo nero a temperatura è data da dove la costante di Boltzmann vale essendo K l'unita di misura della temperatura assoluta.Da cui si può scrivere che mentre secondo il testo deve essere Essendo l'intensità una energia per metro quadrato e sostituendo alla energia il valore ovvero l'energia di Planck si può porre

In questo caso è necessario fornire la dipendenza da M perché più è massiccio e più è minore la temperatura del buco nero.

[Pigkappa]

In questo caso è necessario fornire la dipendenza da M perché più è massiccio e più è minore la temperatura del buco nero.

Avrei detto piuttosto che e' necessario fornirla perche' altrimenti non ci sono abbastanza informazioni per risolvere il problema. Nelle altre domande c'era una sola soluzione possibile che rispettasse l'analisi dimensionale, a meno di costanti numeriche (o a meno di fare cose molto strane). Quest'ultima, senza sapere questa dipendenza, non si poteva risolvere.

[Pigkappa]

Pertanto risulta adimensionale e in funzione delle grandezze richieste la controparte gravitazionale

Cosa e' ? Non penso fosse tra le grandezze che si possono usare qua dato che non e' una costante.

Nota bene: secondo me qua il testo e' scritto male e trae in inganno. Abbiamo visto che la costante di struttura fine da' in un certo senso il rapporto tra l'energia elettrostatica [di due elettroni a distanza X] e quantistica [di un fotone di lunghezza d'onda X]. Allo stesso modo, per quanto il testo non lo dica chiaramente, credo che la costante di struttura fine gravitazionale debba dare una idea tra il rapporto dell'energia gravitazionale e quella quantistica. Quindi nel risultato ci sara' ancora . Il commento che fanno dicendo "basandosi su [...] " e' fuorviante; penso volessero dire di esprimere il risultato finale in termini di , facendo scomparire , per dimostrare cosi' la cosa che chiedono subito dopo, che .

Mostrare che cresce quantitativamente con l'energia degli elettroni al quadrato

Mi pare che tu non abbia affrontato questa parte

secondo il testo deve essere

Aspetta... Questa da dove viene? Il testo dice ma il coefficiente di proporzionalita' da dove lo hai trovato?

Forse mi sono perso qualcosa ma... Cosa e' ?

[Higgs]

La vera obiezione che fai è quella relativa al punto 3. Mi sono accorto di aver fatto un errore di calcolo. Infatti il punto si fonda su due equazioni: 1) la legge di emissione del corpo nero a temperatura ovvero e l'altra, contenente l'errore, dove erroneamente al posto di K ho messo . Si tratta di due equazioni in due incognite, e K. Si ricava K in funzione di e quindi si ricava in funzione delle grandezze che il testo indica cioè la massa M del buco nero, la massa di Planck e .
Se non ho sbagliato i conti mi risulta

dove si deve osservare che deriva dal fatto che I , come intensità di emissione del buco nero alla temperatura , rappresenta un'energia per cioè per una lunghezza al quadrato. Dovrebbe essere la risposta alla tua ultima domanda...

[Higgs]

4. Sappiamo dalla Termodinamica che la temperatura può essere dedotta dall' e ntropia S utilizzando la relazione

dove E è l'energia interna del sistema. Qui l'unico contributo per E è l'energia di riposo del buco nero, . Legare l'entropia alla massa M integrando questa equazione. Esprimere il risultato in termini della dimensione dell'orizzonte e della lunghezza di Planck .
Notate che , sorprendentemente, il risultato è proporzionale all'area dell'orizzonte e non al volume da esso racchiuso.
Nota: = energia del fotone di frequenza angolare , e


4. Integrando e introducendo l'orizzonte di dimensione nonché il suggerimento della nota, si ottiene dove
In conclusione risulta