327 - SNS n.2, 2024

[Pigkappa]

Una cabina C di una funivia può scorrere senza attrito su un cavo orizzontale rigido a cui è vincolata tramite una serie di bracci verticali, che ne garantiscono la stabilità impedendo ogni altro movimento (verticale, oscillatorio, trasversale).

Come mostrato in figura, all'interno della cabina, poggiata sul pavimento, si trova una massa puntiforme A che è libera di muoversi in direzione orizzontale, restando a contatto con la base della cabina stessa, al più subendo urti perfettamente elastici con le pareti di C.

Un osservatore esterno che monitora il sistema da lontano nota che, a intervalli regolari di durata e , la cabina passa da uno stato di moto in cui si sposta orizzontamente lungo l'asse con velocità costante , a uno stato in cui è perfettamente ferma.

Si proponga una spiegazione dell'effetto e si determini il rapporto tra e .
Supponendo che l'osservatore possa misurare tali grandezze, nonché le dimensioni geometriche della cabina e la velocità , si determini il rapporto tra le masse di C e di A.

[Higgs]

Io avrei ragionato così. Poichè gli stati possibili della cabina sono o il moto uniforme a velocità (caso 1) o la sua quiete (caso 2), vuol dire che la risultante delle forze esterne su essa agenti è nulla. Si deve pertanto conservare la quantità di moto del sistema. In secondo luogo la velocità assoluta di A è data dalla somma di quella di trascinamento più quella relativa alla cabina . Ogni cambiamento della velocità della cabina e di A deve avvenire in occasione dell'urto elastico di A con la parete della cabina.
Caso 1) supponiamo di orientare l'asse x del moto da sinistra verso destra come sempre e che la cabina si muova verso sinistra. A che non è collegata alla cabina si muoverà verso destra fino ad urtare la parete di destra elasticamente. Nell'urto si conserva la quantità di moto. Abbiamo cioè prima e dopo l'urto se M è la massa della cabina e m quella di A ovvero . Allora se è il tratto percorso da m nella cabina sarà
Caso 2) supponiamo ora che dopo l'urto la cabina si fermi. per ritornare in movimento bisogna che A percorra tutta la cabina di lunghezza l e urti la parete opposta. La velocità di A è opposta a quella che aveva prima dell'urto elastico per cui sarà da cui il rapporto . Essendo posto risulta in funzione di grandezze tutte misurabili secondo il testo

[Pigkappa]

Abbiamo cioè prima e dopo l'urto se M è la massa della cabina e m quella di A

Qua stai assumendo che la velocità relativa tra scatola e pallina sia la stessa prima e dopo l'urto? Questo in generale non è vero.

Permettimi di usare minuscolo così è chiaro che si riferisce alla pallina (lettere maiuscole per la scatola e minuscole per la pallina). Allora bisogna introdurre due velocità e per i due stati di moto:

[Higgs]

Ma io ritenevo che siccome l'urto è perfettamente elastico la velocità di A rispetto alla cabina cambiasse solo il segno ma non l'intensità RELATIVA della velocità. Oppure tu sostieni che dopo l'urto siccome la velocità della cabina si annulla deve variare anche l'intensità di . E' così? Non ho le idee ancora chiare...

[Pigkappa]

Stai dicendo che la differenza tra le due velocità in un urto elastico si conserva? Mi sembra una cosa inventata sinceramente

Sappiamo la velocità della cabina prima e dopo l'urto. Ci mancano le velocità della massa puntiforme. Si conservano quantità di moto ed energia. Da questi due criteri si scrivono due equazioni.

[Higgs]

Espongo i miei risultati senza molti dettagli che in un secondo tempo espliciterei dopo la tua revisione.
Adottando le tue indicazioni, le due leggi di conservazione (quantità di moto ed energia) dovrebbero essere nei due casi 1) e 2)


Svolgendo i conti avrei ottenuto ; per cui
= avendo posto .
Risulta pertanto

[Pigkappa]

Quel segno meno all'inizio della tua equazione dell'energia mi sembra sospetto.

Faccio il conto per esteso e vediamo se mi torna uguale a te. Io non starei a lavorare in termini di velocità relativa ma semplicemente di velocità rispetto ad un osservatore esterno. Imposterei così.


Dalla prima sostituisco nella seconda, e semplifico:

Espandendo, eliminando , dividendo per che assumiamo diverso da zero:

Dalla prima equazione si ottiene .

La mia dovrebbe essere uguale alla tua ma non lo è, purtroppo...

[Higgs]

Secondo me c'è un errore nella prima delle tue equazioni di conservazione della qdm. Il primo termine è negativo per cui le equazioni tue dovrebbero essere


La prima la scrivesti anche tu nel primo post.
Proseguendo nei conti se non li sbaglio risulterebbero allora
e .
Pertanto avremmo e in conclusione

[Pigkappa]

Nel mio post del 3 Dicembre stavo seguendo la tua notazione nella quale era positivo verso sinistra e le altre velocita' verso destra. Notazione legittima e che potrebbe essere utile perche' in generale ci aspettiamo che queste velocita' abbiano segni diversi.

Nel post del 10 Dicembre invece usavo la notazione che mi pare piu' naturale, in cui tutte le velocita' sono positive verso destra. Avrei dovuto segnalarlo per chiarezza, chiedo scusa.

In ogni caso cambia solo il segno di nella prima equazione e nei risultati finali, ma ovviamente rimane sempre positivo essendo un quadrato, e nella tua equazione dell'energia non lo era.

Usando i miei risultati per , scrivo:


Che a me darebbe:


Mi viene quindi diverso da te... Penso sia perche' nel post del 12 Dicembre, a differenza dei tuoi post precedenti, non usavi piu' le velocita' relative. Questo va bene e anche io sto facendo cosi', ma allora al denominatore di devi fare attenzione e usare invece di .

Il mio risultato ha senso?

Se , la scatola esterna rimane praticamente ferma ovvero e , la particella ha sempre la stessa velocita' andando avanti e indietro, quindi ci aspettiamo di trovare , che combacia con il risultato qua sopra.

Il tuo risultato invece da' che mi sembra poco intuitivo. E se trovi un rapporto negativo che e' a sua volta un po' strano.

Una spiegazione del perche' viene 1 potrebbe essere questa. Osserviamo lo stesso moto in un sistema di riferimento che si muove con velocita' rispetto al sistema iniziale . Allora il moto e' simile a prima, ma abbiamo invertito quello che succede negli intervalli 1 e 2, e il segno della velocita': adesso nell'intervallo 1 la scatola e' ferma, nell'intervallo 2 si muove con velocita' .

L'intervallo e' lo stesso in entrambi i sistemi di riferimento, e nella relativita' galileiana cambiare sistema di riferimento inerziale non cambia i tempi, quindi: , dove indico con il valore di misurato nel sistema , e allo stesso modo uso la notazione .

Pero' potremmo anche calcolare risolvendo, nel sistema , il problema che avevamo risolto in per calcolare . Poiche' il problema e' identico a parte il segno delle velocita' (la lunghezza non cambia perche' non siamo in relativita'), troveremo .

Mettendo insieme queste equazioni e' chiaro che

[Higgs]

Tutto il tuo ragionamento ora mi convince e il rapporto fra i è 1 . Non riesco a capire però quanto vale . Mi sembra che tu non lo espliciti. Ed è la seconda domanda del testo. O è una cosa così banale ed io sono sciocco... ovvero è