Serie infinita di maglie

[mantanp]

Il bonus riguarda solo i resistori oppure un resistore qualunque del circuito?

[Pigkappa]

Qualunque

Ma non sono sicuro ci sia una formula semplice per un resistore generico, per questo ho chiesto solo "come si calcola"... Ma se trovi una formula, anche meglio

[mantanp]

Intanto invio il procedimento per la prima parte.

In sostanza, l'idea è quella che, se le disposizioni a quadrato di e continuano all'infinito, allora aggiungendo un solo quadrato di questo tipo la resistenza equivalente sarà la stessa. Sia allora la resistenza equivalente di tutte le resistenze tranne la prima. Per quanto detto prima, possiamo immaginare che la resistenza si trovi in serie con e in parallelo con in quello che è il primo quadrato, subito dopo la prima resistenza. Dovrà valere che: , che si può sviluppare come semplice equazione di secondo grado in incognita . Si ottiene così come unica soluzione in quanto l'altra è negativa. Aggiungendo in serie la resistenza inziale si ottiene il risultato cercato, ovvero .

Ora, se è la fem del generatore, la corrente nei resistori si può calcolare con la legge dei nodi. Nella prima resistenza, essendo in serie con , scorrerà una corrente data , perché in due resistenze in serie scorre la stessa corrente. La corrente così trovata si ripartirà tra e . Tenendo conto della caduta di potenziale dovuta al primo resistero, avremo che , quindi nel secondo resistore scorre una corrente .

[Pigkappa]

Giusto

Riusciamo a capire come va la corrente nella n-esima resistenza ?

Se non una formula esatta, almeno la dipendenza approssimativa da n, cioè capire se va come una potenza di n come , oppure esponenziale come , o altro.

Premetto che non ci ho ancora pensato io stesso.

[Pigkappa]

Adesso ci ho pensato e sono convinto che esistono formule abbastanza semplici, ed un modo furbo e non contoso per dimostrarle

[mantanp]

Avevo letto male e credevo fosse da provare per . Ad ogni modo, facendo qualche conto credo che la decrescita di corrente dipenda esponenzialmente da , cioè che sia una roba del tipo , dove è la corrente sull'n-esima resistenza e è la corrente che scorre nella prima resistenza, quella isolata, ovvero . Nel limite di n che tende a , la corrente tende a zero, che ha senso, e per n=1 si ottiene lo stesso risultato ricavato in precedenza. Tenendo conto che se la corrente in entrata nei quadrati è , per la conservazione della carica si dovrebbe ricavare anche quanta ne scorre nei vari .

[Pigkappa]

Giusto

Riusciamo a dimostrarlo un po' più formalmente? Per ora hai solo detto "facendo qualche conto"

[mantanp]

Certo, appena ho tempo carico la dimostrazione. Visto che non sono così ferrato in (a proposito, come sarebbe il comando per scrivere il logo?) volevo evitare di perdere tempo a scrivere roba sbagliata... Intanto, se riesci, potresti dare un'occhiata al problema "matita che cade" che ho pubblicato di recente?

[Pigkappa]

(a proposito, come sarebbe il comando per scrivere il logo?)

Il latex si impara copiando esempi di altri, oppure cercando su Google

Ho provato per un paio di minuti ma in questo caso non sono riuscito..! Google mi suggerisce:

Codice: Seleziona tutto

[tex]\LaTeX[/tex]

Ma non sembra funzionare, non so se per motivi specifici del forum o in generale.

"matita che cade"

Quando posso guardo

[mantanp]

Per prima cosa, cerchiamo di capire come cambia il potenziale ai capi dell'n-esimo resistore e considerando quello isolato come lo "0-esimo". Dopo che la corrente passa in quest'ultimo resistore, c'è una caduta di potenziale e si ha che quello dopo ha una differenza di potenziale ai due capi di , dove . Per il secondo , la differenza di potenziale sarà . Per induzione si capisce facilmente che la differenza di potenziale ai capi dell'n-esimo vale:

Ora, siccome vogliamo calcolare la corrente che scorre nell'n-esimo resistore, questa sarà data semplicemente da . Sfruttando la formula ricorsiva per il potenziale si nota che: . Riprendendo l'espressione di , possiamo sostituire ottenendo:

Da ciò si ricava che . Sostituendo ricorsivamente, si ottiene proprio .

Per trovare la corrente nei vari , una volta che abbiamo , essendo che sono in parellelo con la differenza di potenziale è la stessa. Inoltre, per la legge di conservazione della carica, , quindi:
, che con qualche conto si può rendere arbitrariamente più maneggevole.