Principio di relatività e gruppo di Galileo
Inviato: 27 dic 2023, 18:41
Salve a tutti,
mi è stato fatto sorgere un dubbio sul principio di relatività ed essendo un argomento così fondamentale credo sia giusto cercare di chiarirmelo.
Si prendano due sistemi di riferimento,
e 
, con il secondo che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al primo. E' possibile esprimere la posizione di un punto materiale rispetto al sistema (
) conoscendo la posizione del punto rispetto al sistema (
) e conoscendo la posizione dell'origine delle coordinate di rispetto a (
). Dunque:
Derivando due volte rispetto al tempo:
Ma poichè il sistema si muove di rettilineo uniforme:
Cioè l'accelerazione del punto materiale è la stessa nei due sistemi. Le equazioni del moto rispetto ai due sistemi sono dunque le medesime.
Sembrerebbe che abbiamo così dimostrato il principio di relatività, che però per definizione non può essere dimostrato. Questo modo di ragionare è corretto? Mi è stato presentato a lezione, ma mi sembra moooolto instabile. Provo a formulare qualche considerazione e pregherei qualcuno di potermi aiutare.
Prima obiezione
Nel ragionamento si sta implicitamente constatando che le proprietà dei vettori posizione non cambino nel passaggio da un sistema di fisso ad uno in moto rettilineo uniforme e viceversa. Si può dimostrare che le trasformazioni che fanno parte del gruppo di Galileo sono semplici spostamenti della metrica. Conservano perciò le distanze tra due punti e gli intervalli di tempo. I vettori non dovrebbero quindi subire mutazione nella loro lunghezza e orientamento.
Ho però una domanda da porre rispetto a tale gruppo. Esso comprende tutte le trasformazioni affini che conservano le distanze tra eventi contemporanei e gli intervalli di tempo. E' possibile dimostrare che anche nel passaggio da un sistema inerziale ad uno non inerziale tali caratteristiche si conservano?
Seconda obiezione
Si sta anche implicitamente considerando che il tempo sia ugualmente misurato nei due sistemi, dato che deriviamo senza troppi problemi. Anche questa obiezione è però smontabile assumendo a priori che lo scorrere del tempo sia uguale in tutti i sistemi.
Terza obiezione
Direi la più importante: l'affermazione
non significa a priori che le leggi del moto siano uguali nei due sistemi. Essendo infatti  = m \vec{a})
con il ragionamento sopra descritto abbiamo dimostrato solo che la parte destra dell'equazione si conserva, ma nulla sappiamo sulla parte sinistra.
Vi ringrazio in anticipo.
mi è stato fatto sorgere un dubbio sul principio di relatività ed essendo un argomento così fondamentale credo sia giusto cercare di chiarirmelo.
Si prendano due sistemi di riferimento,
Derivando due volte rispetto al tempo:
Ma poichè il sistema
Cioè l'accelerazione del punto materiale è la stessa nei due sistemi. Le equazioni del moto rispetto ai due sistemi sono dunque le medesime.
Sembrerebbe che abbiamo così dimostrato il principio di relatività, che però per definizione non può essere dimostrato. Questo modo di ragionare è corretto? Mi è stato presentato a lezione, ma mi sembra moooolto instabile. Provo a formulare qualche considerazione e pregherei qualcuno di potermi aiutare.
Prima obiezione
Nel ragionamento si sta implicitamente constatando che le proprietà dei vettori posizione non cambino nel passaggio da un sistema di fisso ad uno in moto rettilineo uniforme e viceversa. Si può dimostrare che le trasformazioni che fanno parte del gruppo di Galileo sono semplici spostamenti della metrica. Conservano perciò le distanze tra due punti e gli intervalli di tempo. I vettori non dovrebbero quindi subire mutazione nella loro lunghezza e orientamento.
Ho però una domanda da porre rispetto a tale gruppo. Esso comprende tutte le trasformazioni affini che conservano le distanze tra eventi contemporanei e gli intervalli di tempo. E' possibile dimostrare che anche nel passaggio da un sistema inerziale ad uno non inerziale tali caratteristiche si conservano?
Seconda obiezione
Si sta anche implicitamente considerando che il tempo sia ugualmente misurato nei due sistemi, dato che deriviamo senza troppi problemi. Anche questa obiezione è però smontabile assumendo a priori che lo scorrere del tempo sia uguale in tutti i sistemi.
Terza obiezione
Direi la più importante: l'affermazione
Vi ringrazio in anticipo.