Higgs ha scritto: ↑8 dic 2023, 19:03
a) La seconda equazione della dinamica nel sistema non inerziale rotatorio con velocità
in cui compare la forza apparente centrifuga dovrebbe essere
^2} - T + m\omega^2(R+h) =0)
Da cui la tensione
^2} + m\omega^2(R+h))
. La tensione minima è nulla quando m è come se fosse in orbita ovvero quando
 = \frac {GmM}{(R+h)^2})
da cui sostituendo i valori forniti mi risulta
circa 40 raggi terrestri(mi pare troppo?)
La tua impostazione del punto
)
è fisicamente corretta e conduce alla corretta equazione di compensazione tra forza gravitazionale e forza centrifuga, ma il valore numerico da te proposto per
è errato (come hai giustamente intuito e sospettato, si tratta di un valore troppo grande). Ti invito a scrivere innanzitutto l'espressione simbolica (cioè, in funzione delle variabili note) di
prima di sostituirvi i valori numerici, abbandonando invece l'
immediata immissione di questi ultimi nell'equazione: in questo modo, è possibile mantenere una maggiore accuratezza nella stima numerica senza particolare rischio di sbagliare completamente il risultato finale. Dovresti ottenere un valore dell'ordine di
. Faccio notare, inoltre, come non sia da ritenersi particolarmente corretta la scelta di approssimare la grandezza in esame (in questo caso, l'altezza
) alla prima cifra decimale (in questo caso, al decimo di metro): se - come in tale problema - i dati (
) sono integralmente forniti con approssimazione all'unità, allora è opportuno che siano esplicitati in questa maniera anche i valori di cui è richiesto il reperimento.
Higgs ha scritto: ↑8 dic 2023, 19:03
b) Ora T(L) =0 e sviluppando in serie dato che l<<L
 = 0+T'(L)l = m[\omega^2 + \frac{2Gm}{(R+L)^3}]l )
. Sostituendo i dati mi risulterebbe
= 3,4\times 10^{16} N)
Essa corrisponde ad una trazione occorrente, considerando
^2 m^2)
e
, pari a
}{\sigma} \simeq 2.10^{24 } m N/m^2)
Purtroppo, lo svolgimento di tale punto è sbagliato. Sorvolando sulla poca chiarezza della notazione adottata nel corso del procedimento (nonché di quest'ultimo), è possibile rilevare alcune imprecisioni: 1) stanti le condizioni usufruibili dal testo, non è possibile determinare numericamente il valore della tensione
)
, dal momento che la consegna non fornisce alcun precipuo valore della massa
del contrappeso (da cui, invece, la tensione dipende
evidentemente); 2) lo scambio tra massa
del contrappeso e massa
della Terra all'interno dell'espressione tra parentesi quadre in
^3}\right]l)
rivela un'avvenuta confusione tra un valore numericamente ignoto (cioè,
) incluso nell'equazione ed uno numericamente conosciuto (ovvero
) che hai probabilmente utilizzato per compiere i calcoli. Quanto allo svolgimento: corretta l'idea di sviluppare in serie, non altrettanto il metodo utilizzato per mettere in pratica tale strumento. Il caso di approssimazione richiesto al punto
)
, da svolgersi mediante sviluppo binomiale, è del tutto analogo a quello discusso alcuni mesi fa, quando dissi che "benché possano essere considerate di rango secondario, le approssimazioni costituiscono una parte importantissima della Fisica." Nella
Nota. finale contenuta al terzultimo
post di
questo thread ("Scontro tra asteroidi") discusso da te, me e @Pigkappa, infatti, è presente una trattazione in cui ho già affrontato questo tema. Prima di tentare nuovamente di risolvere questo punto del problema, ti consiglio caldamente di leggerla, ponendo particolare (se non intera) attenzione alla premessa ai due metodi principali di approssimazione (in cui viene sancita l'importanza di scrivere le relazioni nella forma
) e, soprattutto, alla definizione e alla conseguente applicazione dello sviluppo in serie di Taylor tramite espansione binomiale. Utilizzando quest'ultima e mantenendo soltanto i primi due termini, si otterrà una costante addizionata ad un termine lineare in
. Compattando l'espressione estesa di
, dovresti giungere ad una forma definitiva semplificata di
, dipendente soltanto dalla variabile
ed esprimibile in funzione delle sole
e di un fattore moltiplicativo
.
Higgs ha scritto: ↑8 dic 2023, 19:03
c) Utilizzando in ipotesi un cavo in nanotubi, sopportando un nanotubo una trazione fino a
, si tratta di vedere quanti nanotubi entrano nella sezione di
^2)
avendo ciascuno la sezione di
^2 )
: Facendo il conto risulterebbero
per sezione con una trazione sopportabile fino a circa
.
Pertanto deve risultare
. Ambo i membri della disuguaglianza sono in
. Quindi il valore massimo di m è dell'ordine di 1000 kg.
Bisogna prestare attenzione a distinguere tra
trazione (
stress, carico) e
forza (
force, tensione).
La
trazione di snervamento (solitamente chiamata
tensione di snervamento,
yield stress o
yield strength, da non confondere con la tensione intesa come forza in senso assoluto) rappresenta la massima
forza per unità di superficie ed è una proprietà intrinseca del materiale costituente: per un tubo cilindrico uniforme, dunque, la trazione di snervamento è
indipendente dal raggio del cilindro.
La
forza di snervamento (cioè, il valore della
tensione-forza in corrispondenza del quale i materiali - soprattutto metallici - sopportano una trazione massima fino alla quale subiscono una deformazione elastica prima di andare incontro a deformazioni plastiche, permanenti)
dipende dall'area del tubo cilindrico, a cui è proporzionale.
Non a caso, dunque, il testo suggerisce di assumere "che il cavo abbia la stessa trazione di rottura del nanotubo": se è vero che la forza di snervamento di un cavo di diametro
formato dall'impacchettamento di
nanotubi è certamente maggiore di quella di un singolo nanotubo di diametro
, la trazione di snervamento del cavo è esattamente uguale a quella di un singolo nanotubo, non a quella degli
nanotubi che lo compongono. Infatti, indicando con
le trazioni di snervamento del nanotubo e del cavo, rispettivamente;
le forze di snervamento del nanotubo e del cavo, rispettivamente;
le sezioni del nanotubo e del cavo, rispettivamente, si ha:
La forza di snervamento del cavo sarà uguale a
volte quella del nanotubo, con
(come hai giustamente pensato), dunque la trazione di snervamento del cavo è uguale a:
Dunque:
.
Ricapitolando:
Higgs ha scritto: ↑8 dic 2023, 19:03
d) (facoltativo) Per quanto riguarda l'impostazione della forza totale
dovuta al cavo da aggiungere alle precedenti direi che è dovuta anch'essa ad una componente gravitazionale e ad una centrifuga. Si divida il cavo in elementi di massa
dove
è la densità del cavo,
la già considerata sezione e
la coordinata variabile da 0 a L+l.
Dovrebbe risultare allora
^2} + \int_0^{L+l}\omega^2\rho \sigma(R+\lambda) d\lambda= -GM\rho \sigma(\frac {-1}{R+L+l}+\frac {1}{R}) + \omega^2 \rho \sigma [\frac{(R+L+l)^2}{2}-\frac{R^2}{2}])
Questa forza totale del cavo dovrebbe essere integrata nella legge di Newton di cui all'inizio.
Riguardo a questo punto, il procedimento e i calcoli sono tutti corretti. Bravo!
