Ok, per quanto riguarda l'angolo ho capito. Troverei più naturale usare langolo compreso tra il polo della semisfera, la carica q, e la posizione sulla semisfera, così che
, ma non fa differenza.
Questo è l'argomento energetico per dire che la forza deve cambiare segno da qualche parte.
L'energia potenziale del sistema per
è chiaramente zero.
Anche per
è zero. Questo perché se
, la semisfera ha potenziale uniforme
e carica totale zero, quindi
. La carica al centro è a distanza uguale da tutti i pezzetti di carica sulla superficie della sfera, quindi potenziale
.
Allora l'energia potenziale ha un valore estremo da qualche parte. In tale punto
cambia segno e la forza cambia segno.
Quando
, dal punto di vista della carica, la semisfera occupa un angolo molto piccolo. La carica negativa viene attirata nella parte vicina, quella positiva va sulla parte lontana, e le forze tra particella e cariche sono tutte quasi esattamente lungo
. Allora le forze attrattive vincono. Potremmo calcolare la dipendenza da
rimpiazzando la semisfera con un altro corpo di forma più semplice, ad esempio una sfera, e penso troveremmo
dove
è un coefficiente numerico vicino a 1.
Allora da qualche altra parte la forza deve essere repulsiva. Mi aspetto che sia vicino alla sfera, il che vuol dire approssimativamente
. In questo caso la carica negativa viene comunque attirata vicino a
, quindi vicino alla circonferenza di base della semisfera. Una buona parte della forza dovuta alla carica negativa è esercitata ortogonalmente a
e queste componenti si elidono, e la componente repulsiva vince.
Il metodo delle cariche immagini non si può usare, almeno non in modo standard, perché quel metodo richiede di avere condizioni al contorno (e.g. potenziale uniforme) su una superficie che delimita una zona isolata dello spazio. Si possono poi mettere cariche virtuali dentro quella zona isolata dello spazio, cercando di soddisfare le condizioni al contorno, e allora il potenziale al di fuori di tale zona è stato interamente determinato.
In questo problema non c'è una zona dello spazio isolato, perché la semisfera non è chiusa. Mettendo cariche dentro la semisfera stiamo influenzando anche il potenziale sulla metà mancante della superficie sferica, e non sappiamo nulla su questo potenziale prima di risolvere il problema, quindi non ci è possibile determinare se stiamo ottenendo la forma giusta del potenziale in quei punti.