SNS n. 1 2023

[Pigkappa]

Beh sicuramente dipende da seno e/o coseno di theta

[Higgs]

Allora, nel fare nuovamente i conti, ho cercato di uniformare le notazioni alle tue. Le 4 equazioni di partenza sono:
1) 2) e analoghe per la massa 2 3), ortogonalità fra e vettore differenza 4) conservazione del momento angolare prima e dopo l'urto

Risparmiandoti i conti, basandomi su questo sistema e combinando le quattro avrei trovato questi risultati a partire da :





Si osserva che con questi risultati quando mentre mi sembrerebbe giustamente

[Pigkappa]

Cosa vuoi dire con "analoghe per la massa 2" e con quella equazione dell'energia?

La energia totale si conserva ma non vedo motivo per cui l'energia di ogni massa individualmente si conservi

[Pigkappa]

A me viene come segue. Ho messo per comodità.

Le equazioni sono:





Risolvendo queste equazioni, ed escludendo la soluzione che ha (che equivale a verso il basso), si trovano le velocità:





E' sorprendente che e non ho una spiegazione intuitiva del perché venga così per ogni angolo. In ogni caso, in generale, per cui non si è conservata l'energia di ogni particella individualmente.

[Pigkappa]

Questa è la soluzione più veloce. Il moto di un corpo rigido può essere solo:

1. Pura traslazione, in cui ogni punto si muove con la stessa velocità
2. Pura rotazione, in cui ogni punto ruota attorno ad un centro comune
3. Una somma dei due precedenti

Prima dell'urto, il moto è solo traslazione con velocità verticale. Dopo l'urto, possiamo descriverlo in generale come traslazione più rotazione attorno ad un punto. Potremmo scegliere qualsiasi punto, ma per comodità prendiamo il centro di massa come punto di rotazione. La conservazione della QDM orizzontale ci dice subito che la velocità x del CDM rimane zero, quindi abbiamo come sola componente da tenere la componente verticale.

Prima dell'urto la velocità di traslazione è e quella di rotazione . Dopo l'urto chiamiamole e .

Il momento di inerzia rispetto al centro sia . Per conservazione dell'energia:


Il momento angolare rispetto al punto di contatto P con il suolo si conserva, perché l'unica forza impulsiva agisce lì. Prendo per positive le velocità verso l'alto, e antioraria. Momento angolare prima dell'urto:

Il momento angolare rispetto a P dopo l'urto è dato dalla somma del momento angolare di rotazione attorno al CDM, più il momento angolare rispetto a P che avrebbe il sistema se fosse tutto nel CDM:


Quindi, eguagliandole:


Risolvendo nelle incognite ed ed escludendo la soluzione , si trova:



Questo risultato è equivalente a quello del post precedente. Ad esempio, si può calcolare:

Che coincide con la soluzione precedente. Allo stesso modo si può calcolare



Facendo i conti, tornano tutti come sopra.

[Tarapìa Tapioco]

Premessa Dopo aver quasi interamente scritto il post, ho notato come avesse già pensato @Pigkappa a risolvere tutto: game-set-match. Io avevo pensato di fornire alcune direttive sui corretti metodi da seguire per una buona riuscita dello svolgimento del problema, ma @Pigkappa ha già riportato i vari procedimenti svolgendoli splendidamente. A questo punto, @Pigkappa, mi sento di chiederti scusa, ma non di cancellare questo post, nonostante molti risultati e concetti siano praticamente uguali a quelli da te avanzati. Potrebbe esserci, inoltre, un'interessante proposta di soluzione (quella contenuta nell'ultimo paragrafo) a cui potresti non aver pensato. Alla fine pubblicherò comunque, come da consueto, il mio procedimento completo ed esteso, corredandolo con tutte le informazioni, note, risoluzioni che possano venirmi in mente affinché possa essere - anche solo in minima parte - di beneficio al Forum. Grazie.

Si anch'io pensavo che la massa di contatto, che per un istante deve fermarsi all'inversione della sua velocità, diventasse sede dell'asse istantaneo di rotazione

Il suolo è liscio, dunque non ci sono forze orizzontali sul sistema composto dalle due masse. Di conseguenza, il centro di massa si muove soltanto lungo la verticale.

La massa che urta il suolo secondo me non può ricevere una reazione con una componente orizzontale perchè il suolo è liscio e il suo urto è ad esso perpendicolare.

Giusto. Non può esserci una reazione orizzontale esercitata sulla massa dal terreno.

Allora dovrebbe essere respinta lungo la verticale con velocità . Questo vuol dire che l'altra massa sospesa deve muoversi perpendicolarmente all'asta deviando dalla caduta verticale effettuando una rotazione istantanea attorno all'altra e formando un angolo con la verticale.

Questo non è corretto. Infatti, contemporaneamente alla reazione esercitata dal suolo, si verifica una reazione agente lungo l'asta, la quale esercita un impulso orizzontale uguale e contrario sulle due masse, dando loro velocità orizzontali uguali e opposte, e, allo stesso modo, fornisce un impulso verticale uguale e contrario alle due masse, il quale aumenta l'impulso verticale proveniente dal suolo. Tale confusione suggerisce, forse, che sarebbe più semplice lavorare in termini di leggi di conservazione piuttosto che preoccuparsi di tutte le forze agenti sul sistema.

Il testo chiede di determinare come si muove il sistema immediatamente dopo l'urto della massa di sinistra. Allora come ho detto la massa di destra assume una direzione perpendicolare a L con modulo immutato con componente orizzontale e componente verticale mentre anche l'altra massa assume le stesse componenti a segno invertito. Complessivamente dopo l'urto la quantità di moto totale del sistema è quindi nulla. L'asta rigida ruota attorno al CM tendendo alla posizione orizzontale e per la conservazione dell'energia meccanica la massa di sinistra dovrebbe raggiungere la posizione h quando quella di destra urta il suolo.

Questo tentativo di soluzione sembra basato su supposizioni e intuizioni, le quali, pur costituendo un buon inizio, devono tuttavia essere supportate da equazioni basate su solidi principi, ovvero le leggi di conservazione: una descrizione qualitativa deve sempre essere supportata da un'analisi quantitativa, pena la fallacia dell'intero ragionamento. Nello specifico caso di tale approccio, il caso limite restituisce una situazione fisica differente da quella qui presentata. Per , idealmente, l'asta cadrà infatti verticalmente e rimbalzerà indietro fino al punto di partenza.

si conserva il momento angolare uguale a zero prima e dopo l'urto

Questa assunzione è imprecisa. Inizialmente il momento angolare è nullo e la velocità verso il basso prima dell'impatto vale ; successivamente, quando la massa inferiore colpisce il suolo e rimbalza, il pavimento imprime un impulso verso l'alto: pertanto, dopo l'urto il momento angolare è stato modificato dall'impulso angolare. Il momento angolare si conserva attorno a un determinato asse se non agiscono momenti torcenti esterni all'asse, ma, anche in questo caso, l'impatto con il suolo potrebbe essere considerato alla stregua di un momento torcente esterno: pertanto, la maniera più ingegnosa per ovviare a un problema di tale sorta è quella di rendere possibile scrivere l'equazione di conservazione del momento angolare senza introdurre alcun impulso , mediante la scelta di un asse passante per il punto di impatto, in qualità di asse rispetto al quale non compia alcun momento torcente.

2) Momento angolare. E' giusto che prima dell'urto le QDM di entrambe non hanno componenti orizzontali e che le QDM valgano?

Sì, se il sistema massa-asta-massa viene rilasciato da fermo. La forza di gravità agisce verticalmente. Nessuna delle due masse possiede una componente orizzontale prima dell'urto perché non v'è alcuna forza esterna orizzontale che agisca su alcuna delle due masse e poiché le masse sono uguali, il momento torcente esterno prodotto dalla forza di gravità non causa una rotazione intorno al centro di massa che fornirebbe una componente orizzontale alle velocità delle singole masse nel caso in cui queste ultime fossero diseguali.

rispetto al punto-massa al suolo prima dell'urto c'é solo il momento del punto-massa di destra che vale
3) Dopo l'urto per effetto di L ci sarebbero allora due componenti orizzontali opposte delle QDM di cui bisogna tener conto nel momento? Ma il momento di quella di sinistra comunque sia deve essere nullo. L'unico momento allora è quello di destra la cui QDM ha cambiato direzione, non è più verticale. E' così?

Corretto, purché si rispetti la peculiare convenzione sui segni adottata. Infatti, rispetto al punto del terreno in cui impatterà la prima massa puntiforme, quest'ultima non possiede momento angolare perché la sua distanza dal punto sarà nulla. In alternativa, è possibile trattare l'asta e le due masse come un unico corpo rigido di massa : il momento posseduto dal sistema prima dell'urto sarà comunque uguale a quello citato.

3) Dopo l'urto per effetto di L ci sarebbero allora due componenti orizzontali opposte delle QDM di cui bisogna tener conto nel momento? Ma il momento di quella di sinistra comunque sia deve essere nullo. L'unico momento allora è quello di destra la cui QDM ha cambiato direzione, non è più verticale. E' così?

Corretto.

Risparmiandoti i conti, basandomi su questo sistema e combinando le quattro avrei trovato questi risultati a partire da :

Le tue espressioni di sono sbagliate. Molto probabilmente (anzi, quasi sicuramente), ciò è dovuto non a errori algebrici occorsi all'interno dei calcoli intermedi (nonostante non siano stati riportati, in questo caso non v'è alcun bisogno di decretarne la possibile correttezza), bensì a un'errata assunzione effettuata preliminarmente riguardo una delle quattro equazioni di partenza. Infatti, dalla tua presentazione dell'equazione di conservazione dell'energia cinetica,

2) e analoghe per la massa 2

sembra che, al fine di facilitare i calcoli, tu abbia sdoppiato l'iniziale equazione di conservazione dell'energia cinetica dell'intero sistema, cioè
,
in due micro-espressioni descriventi le leggi di conservazione dell'energia cinetica per ognuna delle due masse, individualmente, ovvero:



.

Sommando membro a membro le due equazioni appena scritte, si ottiene certamente l'equazione estesa inizialmente riportata, ma non si garantisce la conservazione dell'energia cinetica dell'intero sistema: le quattro variabili non sono indipendenti.

Si osserva che con questi risultati quando mentre mi sembrerebbe giustamente

Le condizioni a posteriori avanzate per , cioè per , sono fisicamente errate, in quanto conseguenza dei tuoi risultati sbagliati. Se è vero che, quando l'asta è verticale, le velocità dei due corpi puntiformi possiedono solo componente verticale (dunque, corretti sono i risultati ), non vale - né per , né in generale - la condizione . Ci si aspetta, invece, che i due corpi possiedano entrambi velocità aventi sola componente verticale verso l'alto con modulo pari a quello della velocità assunta da entrambe le masse (dunque, dal centro di massa) prima dell'urto. Le conclusioni di compendio da te avanzate sarebbero realmente valide solo quando l'asta è completamente orizzontale, cioè per .
I risultati corretti sono:

,

dove si è scelto il verso positivo verso l'alto. Fammi sapere se riesci ad ottenere lo stesso.


Esiste, tuttavia, un altro metodo, ben più rapido e conveniente, per risolvere il problema. L'intero sistema, assimilabile ad un corpo rigido di massa , può essere descritto anche soltanto dalla velocità lineare del centro di massa e dalla velocità angolare intorno a quest'ultimo, valutabili tramite conservazione dell'energia cinetica dell'intero sistema e conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto.
I risultati finali sono:



,

dove sono stati considerati positivi la direzione verso l'alto e il senso antiorario di rotazione.

Benché bastino tali due grandezze per descrivere il sistema, si può dimostrare l'equivalenza dei due metodi verificando la coincidenza tra le espressioni delle componenti calcolate tramite il primo metodo (quello prevedente l'impiego delle quattro equazioni) e le equazioni delle stesse variabili espresse in funzione di , e . Prova a verificarlo da te prima che pubblichi il mio procedimento.

In verità, esiste anche un'altra possibile soluzione che permetta di descrivere il sistema in esame. Infatti, è possibile esaminare la ricorsività delle sequenze di rimbalzi. Un metodo che garantisca la sicurezza della ripetizione di una sequenza in modo finito consiste nella verifica che la discesa dopo il rimbalzo sia l'immagine speculare della salita: perché ciò avvenga, nel punto più alto tra il primo e il secondo rimbalzo l'asta deve essere orizzontale o verticale. La sequenza più facile da osservare è quella di 4 rimbalzi (cioè, ). Si ottiene , dove si riferisce al numero di mezzi giri completi che il sistema massa-asta-massa compie in aria tra il primo e il secondo rimbalzo, poi all'inverso tra il secondo e il terzo rimbalzo, poi ancora in verso opposto tra terzo e quarto rimbalzo.
Esistono molte altre sequenze finite, ma sono più complesse da analizzare.

[Pigkappa]

Hai una spiegazione intuitiva del perché ci viene ?

[Tarapìa Tapioco]

Hai una spiegazione intuitiva del perché ci viene ?

Il risultato trovato analiticamente è effettivamente molto interessante. Non riesco a pensare a un'immediata spiegazione intuitiva della precisa motivazione per cui la componente verticale della velocità assunta dalla prima particella dopo l'urto non dipenda dall'angolo . Questa peculiare espressione restituisce una situazione fisica in cui l'impulso dell'asta verso il basso è compensato da un aumento dell'impulso verso l'alto fornito dal terreno, ma non è chiaro né ovvio perché ciò avvenga. Dovrebbe essere una conseguenza della conservazione dell'energia meccanica.

[Higgs]

Si in effetti riconosco il mio errore. Ci avevo pensato molto a questo problema ed erroneamente non vedevo asimmetrie fra le due masse. Consentitemi di dire però che era un problema molto difficile per un liceale. Non so ovviamente cosa pretendeva poi la commissione...

[Tarapìa Tapioco]

Si in effetti riconosco il mio errore. Ci avevo pensato molto a questo problema ed erroneamente non vedevo asimmetrie fra le due masse. Consentitemi di dire però che era un problema molto difficile per un liceale. Non so ovviamente cosa pretendeva poi la commissione...

La tua posizione è comprensibile. Nonostante lo svolgimento di questo problema non fosse poi così difficile e proibitivo, è assolutamente vero che un simile caso teorico non sia di immediata comprensione, specialmente per un liceale. Se non si conosce (si legga anche: non è mai stato affrontato, o non viene subito riconosciuto) il metodo più facile e rapido per affrontare problemi come questo, ovvero la descrizione del sistema mediante la roto-traslazione del corpo rigido attorno al centro di massa (che permette di snellire i calcoli, coinvolgendo soltanto due equazioni), si può molto facilmente incorrere in errori addentrandosi in strade molto articolate, tortuose e piene di calcoli, come quella che prevedeva la risoluzione di quattro equazioni o altre ancora. Come hai potuto constatare, esistono molti possibili metodi applicabili per la risoluzione dello stesso problema, ma ancora una volta, come nel problema "Scontro tra asteroidi", la risoluzione in termini del centro di massa è sempre più conveniente e vantaggiosa.