Scontro tra asteroidi

Messaggio da **Pigkappa** » 27 set 2023, 2:24

Per poter commentare sul procedimento di Higgs, ho dato a $v'$ lo stesso significato che gli ha dato lui. Chiaramente se gli dai un altro significato, può darsi che l'equazione diventi corretta. Higgs non ha mai menzionato il centro di massa, e non volevo farlo io per non dargli un hint troppo grosso..!

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 27 set 2023, 2:36

Pigkappa ha scritto: ↑27 set 2023, 2:24 Per poter commentare sul procedimento di Higgs, ho dato a $v'$ lo stesso significato che gli ha dato lui. Chiaramente se gli dai un altro significato, può darsi che l'equazione diventi corretta. Higgs non ha mai menzionato il centro di massa, e non volevo farlo io per non dargli un hint troppo grosso..!

Perdonami, hai ragione, non ho tenuto in considerazione questa possibilità. Scusami ancora...

Messaggio da **Pigkappa** » 27 set 2023, 9:54

No problem

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 27 set 2023, 18:21

A)Scusatemi ma anche se il mio risultato è diverso voglio postare quello che nelle mie intenzioni era il procedimento emendandolo dall'errore evidenziato da Pigkappa. 1) Come ho scritto nel mio primo post ho inteso dal testo che il centro di massa (ecco perché non ne parlavo)coincidesse con il centro dell'asteroide da dove passava l'asse di rotazione 2) In effetti se v' è la velocità di traslazione dell'asteroide quella di m incastrato è $v' + \omega R$ . Allora per la conservazione della quantità di moto risulta $mv= mv'+ m\omega R+Mv'$ mentre per la conservazione del momento angolare risulta $mvR=mv'R+m\omega R^2+(2/5)MR^2\omega$ La quantità di moto rotatoria dell'asteroide è nulla. Fatti i conti se non ho fatto errori risultano $v'= \frac{m(v-\omega R)}{m+M}$ e $\omega= \frac{mv}{(R/5)(7m+2M)}$ per cui $F_c= mR[\frac{mv}{(R/5)(7m+2M)}]^2$
B) Se uno abbandona l'ipotesi del centro dell'asteroide come centro di massa allora trova che quest'ultimo dista $x=\frac{mR}{m+M}$ dal centro dell'asteroide e ovviamente dista (R-x) da m. Allora per quanto riguarda la quantità di moto traslatoria uno può immaginare la massa m+M che viaggia a velocità v' ? E per quanto riguarda il momento angolare uno deve calcolare il momento di inerzia dell'asteroide rispetto al centro di massa ottenendo $I_x+Mx^2$ per quanto riguarda M e $m(R-x)^2$ per quanto riguarda m? Ma come fa $\omega$ ad essere lo stesso? Come vedete ho parecchi dubbi. Se comunque mi dite che questa è la strada farò i conti per vedere se ottengo il vostro risultato. Grazie.

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 27 set 2023, 20:11

Io sarei pronto a pubblicare il mio procedimento. Rivolgendomi a @Pigkappa: vorrei chiederti se tu preferisca che io posti il mio svolgimento già da subito (nel frattempo, @Higgs arriverebbe a formulare i calcoli che condurrebbero alla soluzione corretta) o se, invece, ritenga più opportuno che io presenti la mia risoluzione (nonostante mi abbia confermato che i nostri due risultati di $F$ coincidono, ci tengo comunque a dire la mia, in quanto vorrei condividere anche spunti di cui non si è finora parlato e che ritengo parecchio interessanti) solo alla fine, quando già @Higgs sarà pervenuto all'esatto valore di $F$ . Fammi sapere.

Messaggio da **Pigkappa** » 27 set 2023, 21:42

Diamo un po' di tempo a Higgs

Per rispondere a una cosa detta da Higgs sopra... Subito dopo l'urto, si può vedere il moto istantaneo (solo quello istantaneo!) come una di queste due opzioni:

1. M trasla e ruota attorno al suo centro; m trasla. Questa descrizione però funziona solo nell'istante iniziale!
2. M e m ruotano attorno al CDM, e il cdm trasla.

Le due velocità angolari che si ricavano nel caso 1 e 2 sono uguali alla omega calcolata da te, uguali tra loro. Anche io me ne sono accorto solo avendo fatto i due conti. Ma pensandoci un po' si riesce a giustificare anche fisicamente.

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 28 set 2023, 17:59

Higgs ha scritto: ↑27 set 2023, 18:21 A)Scusatemi ma anche se il mio risultato è diverso voglio postare quello che nelle mie intenzioni era il procedimento emendandolo dall'errore evidenziato da Pigkappa. 1) Come ho scritto nel mio primo post ho inteso dal testo che il centro di massa (ecco perché non ne parlavo)coincidesse con il centro dell'asteroide da dove passava l'asse di rotazione 2) In effetti se v' è la velocità di traslazione dell'asteroide quella di m incastrato è $v' + \omega R$ . Allora per la conservazione della quantità di moto risulta $mv= mv'+ m\omega R+Mv'$ mentre per la conservazione del momento angolare risulta $mvR=mv'R+m\omega R^2+(2/5)MR^2\omega$ La quantità di moto rotatoria dell'asteroide è nulla. Fatti i conti se non ho fatto errori risultano $v'= \frac{m(v-\omega R)}{m+M}$ e $\omega= \frac{mv}{(R/5)(7m+2M)}$ per cui $F_c= mR[\frac{mv}{(R/5)(7m+2M)}]^2$
B) Se uno abbandona l'ipotesi del centro dell'asteroide come centro di massa allora trova che quest'ultimo dista $x=\frac{mR}{m+M}$ dal centro dell'asteroide e ovviamente dista (R-x) da m. Allora per quanto riguarda la quantità di moto traslatoria uno può immaginare la massa m+M che viaggia a velocità v' ? E per quanto riguarda il momento angolare uno deve calcolare il momento di inerzia dell'asteroide rispetto al centro di massa ottenendo $I_x+Mx^2$ per quanto riguarda M e $m(R-x)^2$ per quanto riguarda m? Ma come fa $\omega$ ad essere lo stesso? Come vedete ho parecchi dubbi. Se comunque mi dite che questa è la strada farò i conti per vedere se ottengo il vostro risultato. Grazie.

Il tuo ragionamento è valido e i tuoi calcoli sono quasi tutti corretti. Soltanto un'equazione è sbagliata, e pertanto ti conduce ad un errato risultato di $F$ : riesci a rinvenirla? Ripensa ad una delle obiezioni avanzate da @Pigkappa...

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 29 set 2023, 11:11

Ha ragione Pigkappa rifacendo i conti la velocità angolare $\omega$ risulta quella che ho ricavato nel post precedente cioè
$\omega= \frac{mv}{(R/5)(7m+2M)}$ solo che io la riferivo all'asse per il centro O dell'asteroide anziché al centro di massa del sistema collocato , come ho scritto nel post precedente B), nella posizione che dista $x=\frac{mR} {m+M}$ da M e $R-x=\frac{MR}{m+M}$ da m allineata alle due masse. Ciascuna di esse ruota con la stessa velocità angolare ( ma con velocità lineare diversa) attorno al centro di massa in modo che rimangano allineati (ora mi torna il discorso della stessa velocità angolare). Però è chiaro che la forza centripeta che agisce nel punto in cui è incastrata m va riferita, contrariamente a come ho fatto in A) con m<<M, al centro di massa ottenendo $F_c=m\omega^2 (R-x)= m [\frac{mv}{(R/5)(7m+2M)}]^2.\frac{MR}{m+M}= \frac{25 mv^2}{R}. \frac{m^2}{(7m+2M)^2}.\frac{M}{m+M}$
E' possibile ora mostrare che essa coincide con quella trovata da Tarapia cioè $F_c= (25/4)(\frac{M}{M+m})(\frac{\frac{m}{M}}{\frac{2M+7m}{2M}})^2 \frac{mv^2}{R}=(25/4)\frac{M}{m+M}\frac{4 m^2} {(2M+7m)^2} \frac{ mv^2}{R} = \frac{25mv^2}{R}\frac{M}{m+M}\frac{m^2}{(2M+7m)^2}$
come dovevo dimostrare.

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 29 set 2023, 11:34

Higgs ha scritto: ↑29 set 2023, 11:11 Ha ragione Pigkappa rifacendo i conti la velocità angolare $\omega$ risulta quella che ho ricavato nel post precedente cioè
$\omega= \frac{mv}{(R/5)(7m+2M)}$ solo che io la riferivo all'asse per il centro O dell'asteroide anziché al centro di massa del sistema collocato , come ho scritto nel post precedente B), nella posizione che dista $x=\frac{mR} {m+M}$ da M e $R-x=\frac{MR}{m+M}$ da m allineata alle due masse. Ciascuna di esse ruota con la stessa velocità angolare ( ma con velocità lineare diversa) attorno al centro di massa in modo che rimangano allineati (ora mi torna il discorso della stessa velocità angolare). Però è chiaro che la forza centripeta che agisce nel punto in cui è incastrata m va riferita, contrariamente a come ho fatto in A) con m<<M, al centro di massa ottenendo $F_c=m\omega^2 (R-x)= m [\frac{mv}{(R/5)(7m+2M)}]^2.\frac{MR}{m+M}= \frac{25 mv^2}{R}. \frac{m^2}{(7m+2M)^2}.\frac{M}{m+M}$
E' possibile ora mostrare che essa coincide con quella trovata da Tarapia cioè $F_c= (25/4)(\frac{M}{M+m})(\frac{\frac{m}{M}}{\frac{2M+7m}{2M}})^2 \frac{mv^2}{R}=(25/4)\frac{M}{m+M}\frac{4 m^2} {(2M+7m)^2} \frac{ mv^2}{R} = \frac{25mv^2}{R}\frac{M}{m+M}\frac{m^2}{(2M+7m)^2}$
come dovevo dimostrare.

Bravissimo, i calcoli sono tutti corretti.

L'unica imprecisione si trova al punto del messaggio in cui viene detto:

Higgs ha scritto: ↑29 set 2023, 11:11 contrariamente a come ho fatto in A) con m<<M

Sei sicuro che i tuoi risultati di $F$ siano validi anche nel caso in cui $m \ll M$ ? L'unica condizione vincolante da essi rispettata è $r \ll R$ , con $r$ raggio dell'asteroide minore trascurabile rispetto al raggio $R$ di quello maggiore. Se rileggi bene tutti i messaggi, infatti, ti accorgerai che io abbia esplicitamente evidenziato come il risultato finale di $F$ sia stato calcolato senza considerare il caso $m \ll M$ . In quest'ultima possibilità, entrano in gioco approssimazioni e calcoli matematici sempre molto rischiosi da eludere o omettere. Visto che il tuo risultato è corretto e il problema è stato in linea di massima risolto, è proprio in questo punto che voglio innestare la mia riflessione, pubblicando il mio procedimento. Vorrei che mi faceste sapere cosa ne pensiate.

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 29 set 2023, 17:10

No anzi sono convinto del contrario. La F che trovo con m<<M è diversa, come del resto scrivo, dalla F senza questa condizione quando il CM non coincide con il centro O dell'asteroide. O non ho capito quello che dici?

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