319. Pendolo di Foucault

[Tarapìa Tapioco]

Una sferetta di massa e carica positiva è sospesa a una corda isolante di lunghezza . Il pendolo così formato è posto, a riposo, in un campo magnetico verticale omogeneo di intensità . L'esperimento mostra che, qualora la pallina venga inizialmente colpita leggermente di lato, essa oscilla avanti e indietro, con il piano di oscillazione che ruota lentamente.
Trovare la frequenza angolare finale del pendolo.
Quanto tempo impiega il piano a compiere una rivoluzione completa?

[Physicsguy51]

Is the answer

[Physicsguy51]

We can think of similarity of a charged ball moving in a plane perpendicular to its magnetic field. The cyclotron frequency is which is and time period of ball can be found from here. Now, the only difference between our pendulum and ball is that a ball suspended from thread takes twice as long to make a full revolution because it only moves traslationally for half period of time.

[Tarapìa Tapioco]

The answer is correct. But first, drift and write down all the steps with a more detailed explanation.
This problem is very, very, very easy...

[Physicsguy51]

The answer is correct. But first, drift and write down all the steps with a more detailed explanation.
This problem is very, very, very easy...

Yes i did not write anything down on paper. I calculated in my mind. It simple observation that the time period will be twice of the time it takes for a charged particle to revolve in magnetic field perpendicular to its plane of motion.

[Physicsguy51]

The answer is correct. But first, drift and write down all the steps with a more detailed explanation.
This problem is very, very, very easy...

The problem is easy under approximations of small oscillations. However, if you wish for me to write down the logic behind the working of these approximations then I don't think I can write it down in detail. I remember reading this in some article some time back but I do not remember right now.

[Tarapìa Tapioco]

The result is correct, and the reasoning behind it also has merit. Unfortunately, however, it has to be proven: your observation may be interesting even afterwards. The "hardest" (not that hard, actually) part of the "logic behind the work of these approximations" is to find the starting equations. Having done that, the process will come naturally and allow you to arrive at the result you stated earlier. Also, I am editing the post by adding an item so that the general physical situation can be clear.
Since the problem is easy, I will wait a little longer before posting some hints.

[Physicsguy51]

yeah, I guess I'll think about it later so that I understand it myself. Below is what I read sometime back in an article in Kvant.
https://earthz.ru/solves/Zadacha-po-fizike-5448

[Tarapìa Tapioco]

Poiché non è ancora stato avanzato un vero e proprio procedimento per la risoluzione di questo problema, decido di postare un hint, come avevo preannunciato.

Hint: Scrivendo l'equazione di moto del pendolo mentre oscilla in campo magnetico, si può notare come sia molto simile all'equazione di moto di un pendolo semplice in un sistema di riferimento rotante (si consideri un pendolo di Foucault al Polo Nord).

[Higgs]

Seguo in primo luogo il tuo consiglio di considerare il pendolo oscillante al polo Nord in un sistema di riferimento inerziale x,y,z con gli assi x e y nel piano tangente il polo e la sospensione posta a quota z=l . Non c'è l'induzione B e nel sistema scelto il piano di oscillazione xz del pendolo è costante. Le forze agenti sono il peso e la tensionedel filo. Detto l'angolo di oscillazione abbiamo e e le equazioni del moto risultano e . Ora assumiamo che l'oscillazione del pendolo sia piccola per cui la seconda equazione (e il relativo movimento) è trascurabile mentre la prima può porsi e rappresenta un moto armonico di pulsazione da cui la nota formula
Supponiamo ora di inserire il vettore diretto come l'asse z. La palla viene ad essere soggetta alla forza di Lorentz che nel piano xy si traduce in una forza centripeta relativa ad una traiettoria circolare di raggio R. La forza è perpendicolare alla velocità v (quindi a lavoro nullo sulla palla) ma tende a spostarla attorno al centro del cerchio. L'osservatore osserva quindi una rotazione del piano di oscillazione del pendolo-palla m. Analogamente a quello che vede l'osservatore non inerziale del pendolo di Foucault, che partecipa al polo Nord alla rotazione della Terra, a causa della forza di Coriolis Se ci riferiamo al centro del cerchio la forza di Lorentz è opposta al versore di come la forza di Coriolis. Ma la cosa da notare è che essa (si dimostra agevolmente) è molto minore della forza peso mg, circa del medesimo. Questo significa che la frequenza angolare ,cui darà luogo con la stessa velocità v dell'oscillazione del pendolo, sarà molto minore della frequenza di oscillazione del pendolo. Quindi la rotazione del piano di oscillazione del pendolo-palla appare molto lenta all'osservatore. Inoltre, fatta la premessa sui segni, ci possiamo riferire ai moduli. Sarà per ottenere, semplificando e dividendo per m, Quindi il relativo periodo sarebbe In realtà solo in un semiperiodo il pendolo oscilla in modo da percorrere la circonferenza in senso orario mentre nell'altro semiperiodo l'oscillazione del pendolo-palla è in senso opposto. Pertanto il periodo reale, tempo impiegato a compiere un giro attorno al centro in senso orario, sarà il doppio di ovvero