316. Un insetto sferico

Torros · Messaggio da **Torros** » 1 set 2023, 19:45

Un insetto possiede la particolare capacità di arrotolarsi per nascondersi da possibili predatori. In questa configurazione, l'insetto può essere approssimato ad una sfera di massa $M$ , raggio $R$ e densità $\rho$ costante. Ricavare il valore medio del reciproco della distanza tra due punti interni dell'insetto, utilizzando il valore dell'energia potenziale gravitazionale dello stesso (ovvero l'energia potenziale di una massa sferica. Tale valore non deve essere dato per noto, ma ricavato usando i dati in possesso).

Se avete dubbi sul testo chiedete pure, non sono molto bravo a scrivere

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 1 set 2023, 19:58

Poiché prevedo uno svolgimento abbastanza calcoloso per questo problema, potrei sottoporti, quando lo calcolerò, il risultato finale prima di caricare il procedimento qui sul Forum?

Torros · Messaggio da **Torros** » 1 set 2023, 20:37

Certamente, puoi sottopormi il risultato finale quando ci perverrai. Ti vorrei però avvisare che, almeno nella mia soluzione, una volta pervenuto all'energia potenziale dell'insetto-sfera (procedimento che richiede qualche conto, ma nulla di trascendentale), ciò che serve è una idea risolutiva che richiede pochi conti. Esiste quindi una soluzione che sta in una pagina per intenderci. Poi ovviamente non escludo possano esistere soluzioni più calcolose, quindi se ci ti vuoi buttare... io ti ho informato

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 1 set 2023, 20:45

In questa oretta scarsa ho svolto i calcoli (hai ragione, pensavo fossero più difficili) pervenendo al risultato finale $\displaystyle \left\langle \frac{1}{r_{1,2}} \right\rangle = \frac{6}{5}\times\frac{1}{R}$ . Se mi confermi la correttezza della soluzione, invio il procedimento.

Torros · Messaggio da **Torros** » 1 set 2023, 20:52

Perfetto!

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 2 set 2023, 0:35

Torros ha scritto: ↑1 set 2023, 19:45 Un insetto possiede la particolare capacità di arrotolarsi per nascondersi da possibili predatori. In questa configurazione, l'insetto può essere approssimato ad una sfera di massa $M$ , raggio $R$ e densità $\rho$ costante. Ricavare il valore medio del reciproco della distanza tra due punti interni dell'insetto, utilizzando il valore dell'energia potenziale gravitazionale dello stesso (ovvero l'energia potenziale di una massa sferica. Tale valore non deve essere dato per noto, ma ricavato usando i dati in possesso).

Si approssimi l'insetto ad una sfera solida uniforme di massa $M$ e raggio $R$ , avente densità $\rho = \displaystyle \frac{M}{V_{\text{sfera}}}$ , dove $V_{\text{sfera}} = \frac{4}{3}\pi R^3$ . Dunque, $M$ e $R$ sono legati a $\rho$ dalla relazione: $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ $\space$ $\space$ $(1)$ .

L'energia potenziale gravitazionale $U$ della sfera in esame equivale al lavoro totale $L$ svolto dalla massa $M$ per assemblare tutte le sue particelle infinitesime, inizialmente poste a distanza infinita, nella forma di una sfera di raggio $R$ . Si consideri quindi una situazione intermedia in cui si divida la distribuzione sferica in una serie di gusci sferici progressivamente più grandi. Gradualmente, le quantità elementari $\mathrm{d}m$ di massa vengono prelevate dall'infinito e assemblate in un punto in modo che la sfera abbia massa $m$ e raggio $r$ in ogni istante, e densità uniforme $\displaystyle \rho = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi r^3}$ , da cui:

$m = \rho \frac{4}{3} \pi r^3$ $\space$ $\space$ $(2)$

Portando una massa $\mathrm{d}m$ da $\infty$ a $r$ , il suo raggio aumenta di una quantità infinitesima $\mathrm{d}r$ tale che:

$\mathrm{d}m = \mathrm{d} \bigg(\rho \frac{4}{3} \pi r^3\bigg) = \rho \mathrm{d}\bigg(\frac{4}{3} \pi r^3\bigg)$ $\Rightarrow$ $\mathrm{d}m = 4 \pi r^2 \mathrm{d}r \rho$ $\space$ $\space$ $(3)$

L'energia potenziale gravitazionale infinitesima $\mathrm{d}U$ della sfera, ovvero il contributo di lavoro elementare $\mathrm{d}L$ compiuto dalla massa $m$ allo scopo di portare $\mathrm{d}m$ da $\infty$ alla superficie di raggio $r$ , è dato da:

$\mathrm{d}L = \mathrm{d}m (V_r - V_{\infty})$ , dove $V_r = -\frac{G m}{r}$ è il potenziale presente sulla superficie di raggio $r$ e $V_{\infty} = 0$ è il potenziale all'infinito, arbitrariamente considerato nullo. Dunque, l'energia infinitesima è data da:

$\mathrm{d}U = \mathrm{d}L = \mathrm{d}m V_r = \mathrm{d}m \bigg(-\frac{G m}{r} \bigg)$ . Sostituendo le espressioni $(2)$ e $(3)$ per $m$ e $\mathrm{d}m$ , rispettivamente, si ottiene:

$\mathrm{d}U = - 4 \pi r^2 \mathrm{d}r \rho \cdot \frac{G}{r} \rho \frac{4}{3} \pi r^3$ $\Rightarrow$ $\mathrm{d}U = -\frac{16}{3}\pi^2G\rho^2r^4\mathrm{d}r$ .

L'energia potenziale gravitazionale $U$ , ovvero il lavoro totale svolto per assemblare l'insetto-sfera di raggio $R$ , è dato dalla somma di tutti i contributi infinitesimi $\mathrm{d}U = \mathrm{d}L$ compiuti dalla massa $m$ al variare del suo raggio tra il valore minimo $r_{\text{min}} = 0$ e il valore massimo $r_{\text{max}} = R$ . Dunque, integrando, si ha:

$U = \int_{}^{}\mathrm{d}U = \int_{0}^{R}-\frac{16}{3}\pi^2G\rho^2r^4\mathrm{d}r$ $=$ $-\frac{16}{3}\pi^2G\rho^2\int_{0}^{R}r^4\mathrm{d}r$ $=$ $-\frac{16}{3}\pi^2G\rho^2\bigg[\frac{r^5}{5}\bigg]_{0}^{R}$ $=$ $-\frac{16}{3}\pi^2G\rho^2\bigg(\frac{R^5}{5}\bigg)$ $=$ $-\frac{16}{15}\pi^2G\rho^2R^5$ . Sostituendo l'espressione $(1)$ per $\rho$ , si ha:

$U = -\frac{16}{15}\pi^2GR^5\bigg(\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\bigg)^2 = -\frac{\cancel{16}}{\cancel{15}_5}\cdot\frac{\cancel{9}^3}{\cancel{16}} \cancel{\pi^2} G\cancel{R^5}\frac{M^2}{\cancel{\pi^2} R^{\cancel{6}}}$ . Semplificando, si ottiene:

$\boxed{U = -\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}}$

Poiché la forza di attrazione gravitazionale è una forza di interazione tra coppie di particelle, l'energia potenziale gravitazionale totale in una distribuzione composta da punti si configura come somma delle energie di interazione di ogni possibile coppia di particelle da cui è formato il sistema: si calcoli, pertanto, l'energia potenziale gravitazionale considerando l'interazione tra tutte le coppie di punti della sfera. Essa sarà data da:

$U = \sum_{N_{\text{coppie}} =1}^{n}-G\frac{m_1m_2}{r_{1,2}}$ , dove $N_{\text{coppie}}$ è il numero di coppie di punti, $m_1$ e $m_2$ rappresentano le masse delle due particelle interagenti e $r_{1,2}$ designa la mutua distanza tra due punti interni all'insetto-sfera. Si può riscrivere tale equazione come prodotto tra il numero $N_{\text{coppie}}$ di coppie di punti e il valore medio dell'energia potenziale $\left\langle U \right\rangle = \left\langle -G\frac{m_1m_2}{r_{1,2}} \right\rangle$ . Dunque: $U = N_{\text{coppie}} \left\langle -G\frac{m_1m_2}{r_{1,2}} \right\rangle$ .

Poiché l'insetto è assunto come distribuzione sferica uniforme, le particelle di cui si compone la massa totale $M$ possiedono tutte la medesima massa, per cui: $m_1 = m_2 = m$ . Pertanto, il prodotto tra le due masse sarà: $m_1m_2 = m^2$ . Si immagini di dividere tale distribuzione sferica in un numero $N_{\text{punti}}$ di punti tali che la massa totale $M$ sia data dal prodotto tra massa $m$ e numero $N_{\text{punti}}$ di punti. Per cui:

$M = mN_{\text{punti}}$ $\Rightarrow$ $m =\frac{M}{N_{\text{punti}}}$ $\Rightarrow$ $m^2 =\frac{M^2}{N_{\text{punti}}^2}$ $\Rightarrow$ $m_1m_2 = \frac{M^2}{N_{\text{punti}}^2}$ . Sostituendo il prodotto $m_1m_2$ appena trovato nella precedente equazione di $U$ , è possibile condurre il prodotto $-Gm_1m_2$ fuori dal simbolo di valor medio e ottenere:

$U = N_{\text{coppie}} \left\langle -G\frac{m_1m_2}{r_{1,2}} \right\rangle$ $\Rightarrow$ $U = -G\frac{M^2}{N_{\text{punti}}^2}N_{\text{coppie}} \left\langle \frac{1}{r_{1,2}} \right\rangle$ .

Per $N_{\text{punti}}$ , è possibile un numero $N_{\text{coppie}}$ di coppie pari a: $N_{\text{coppie}} = \frac{N_{\text{punti}}(N_{\text{punti}}-1)}{2}$ . Supponendo di dividere la distribuzione in un numero molto grande di particelle, tendente a infinito ( $N_{\text{punti}}\to \infty$ ), allora la quantità $N_{\text{punti}}-1$ è molto vicina, dunque approssimabile, a $N_{\text{punti}}$ ; è possibile scrivere una relazione del tipo $N_{\text{punti}} -1 \sim N_{\text{punti}}$ , tale per cui:

$N_{\text{coppie}} = \frac{N_{\text{punti}}(N_{\text{punti}}-1)}{2} = \frac{N_{\text{punti}} \cdot N_{\text{punti}}}{2} \Rightarrow N_{\text{coppie}} = \frac{N_{\text{punti}}^2}{2}$ . Sostituendo in $U$ :

$U = -G\frac{M^2}{N_{\text{punti}}^2}N_{\text{coppie}} \left\langle \frac{1}{r_{1,2}}\right\rangle = -G \frac{M^2}{\cancel{N_{\text{punti}}^2}} \frac{\cancel{N_{\text{punti}}^2}}{2} \left\langle \frac{1}{r_{1,2}}\right\rangle$ $\Rightarrow$ $\boxed {U = -\frac{1}{2} GM^2 \left\langle \frac{1}{r_{1,2}}\right\rangle}$ .

Uguagliando le due espressioni per $U$ riquadrate in nero, il valore medio del reciproco della distanza tra due punti interni dell'insetto $\left\langle \frac{1}{r_{1,2}}\right\rangle$ sarà dato da:

$-\frac{1}{2} GM^2 \left\langle \frac{1}{r_{1,2}}\right\rangle = -\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{2}\left\langle \frac{1}{r_{1,2}}\right\rangle = \frac{3}{5} \frac{1}{R}$ $\Rightarrow$ $\color{Red} \boxed{\color{Black} \left\langle \frac{1}{r_{1,2}}\right\rangle = \frac{6}{5} \times \frac{1}{R}}$

Messaggio da **Pigkappa** » 2 set 2023, 3:35

Sarebbe stato divertente provarci senza il suggerimento dell'energia potenziale

Torros · Messaggio da **Torros** » 2 set 2023, 9:40

Ancora più divertente sarebbe stato trovare il valor medio matematicamente

Lì traumi veri mi sa. Ti restituisco la staffetta Tarapìa, tutto corretto.

Tarapìa Tapioco · Messaggio da **Tarapìa Tapioco** » 2 set 2023, 9:45

@Torros Hai inventato tu il problema? Comunque, nel corso di una notte insonne, leggendo il messaggio di Pigkappa, ho trovato il valore medio del reciproco della distanza tra due punti interni all'insetto-sfera per via puramente matematica, attraverso uno svolgimento veramente estenuante. Se siete d'accordo, @Torros e @Pigkappa, potrei postarlo a breve, sempre considerando che io debba ancora pubblicare il procedimento dei problemi lasciati in sospeso.

Torros · Messaggio da **Torros** » 2 set 2023, 10:30

Un mio amico mi ha mostrato come ricavare il valore dell'energia potenziale considerando le coppie di particelle, conoscendo il valore medio del reciproco della distanza. Visto che non digerivo il fatto che il reciproco era conosciuto, mi è venuto in mente di impostare un problema inverso invece che ricavarlo matematicamente. Mi farebbe comunque piacere vedere la dimostrazione matematica che capivo fosse complicata. Vedi tu se hai tempo!

316. Un insetto sferico

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