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Un tronco d'albero di diametro $2R$ giace su un campo orizzontale. Una cavalletta pigra vuole saltare oltre il tronco.
1) Trovare la velocità minima $v_{min}$ di decollo sufficiente alla cavalletta per compiere il salto. Si trascuri la resistenza dell'aria.

Domande facoltative:
2) Detto $P$ uno dei punti di intersezione della traiettoria seguita dalla cavalletta con il tronco, dimostrare che la porzione di curva - descritta da tale traiettoria - sopra $P$ non interseca quest'ultimo.
3) Determinare l'angolo di inclinazione iniziale e la distanza di decollo.

Hint: È assolutamente falso assumere che la traiettoria della cavalletta (con la minima velocità di decollo) raggiunga il tronco toccandolo nel suo punto più alto. (Il suggerimento è in linea con la richiesta alla seconda domanda).

Non credo di aver compreso la richiesta del secondo punto, potresti riformulare? Ti ringrazio

Certamente. Modifico il testo cercando di riformulare la seconda richiesta in maniera più chiara.

Tarapìa Tapioco ha scritto: ↑29 ago 2023, 20:30 Un tronco d'albero di diametro $2R$ si trova su un campo orizzontale. Una cavalletta pigra vuole saltare sopra il tronco.
1) Trovare la velocità minima $v_{min}$ di decollo sufficiente alla cavalletta per compiere il salto. Si trascuri la resistenza dell'aria.

Domande facoltative:
2) Detto $P$ uno dei punti di intersezione della traiettoria seguita dalla cavalletta con il tronco, dimostrare che la porzione di curva - descritta da tale traiettoria - sopra $P$ non interseca quest'ultimo.
3) Determinare l'angolo di inclinazione iniziale e la distanza di decollo.

Hint: È assolutamente falso assumere che la traiettoria della cavalletta (con la minima velocità di decollo) raggiunga il tronco toccandolo nel suo punto più alto. (Il suggerimento è in linea con la richiesta alla seconda domanda).

IPhO 2012, Jaan Kalda and Russian Olympiads have asked this before, If I am not mistaken.
[link removed by Pigkappa... Bisogna risolverlo non trovare la soluzione!]

"Saltare sopra" al tronco vuol dire saltare in modo da atterrare sulla metà superiore del tronco, ovvero con l'altezza del punto di contatto maggiore o uguale all'altezza del centro del tronco?

Se bastasse intersecare il tronco, nella parte inferiore, e poi camminarci attorno, il problema sarebbe triviale e v=0...

I tuoi dubbi sono legittimi e sensati, infatti si tratta di un mio errore. Avendo scritto frettolosamente il testo, non ho pensato all'espressione che si attagli maggiormente alla situazione fisica da valutare; non rileggendolo, poi, ho contribuito a dare adito a travisamenti di ogni sorta. Per "saltare sopra" il tronco intendo non "saltare su", bensì "saltare oltre". Procedo immantinente alla modifica del contenuto del testo e chiedo sinceramente scusa.

Ma per conoscere la velocità che permette all'insetto di saltare oltre un tronco posto in orizzontale, non è necessario conoscere anche la lunghezza del tronco oltre al suo diametro?

No, non è necessario. Ovviamente, non devi considerare il tronco posto in orizzontale; modifico ancora una volta il testo, sostituendo "si trova" con "giace", per renderlo definitivamente chiaro e comprensibile.

Abbi pazienza ma ho visto il problema solo questo pomeriggio. Sempre su 2): ...descritta da tale traiettoria "sopra P" vuol dire "dopo P"? E ancora ..."non interseca quest'ultimo" vuol dire che non interseca il tronco? Come se urtasse il tronco in P e poi proseguisse con una traiettoria diversa che scavalca il tronco? Grazie

@Higgs Esattamente, hai centrato il punto.

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315. Una cavalletta pigra

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