315. Una cavalletta pigra

[Tarapìa Tapioco]

Il metodo risolutivo che conduce al calcolo della velocità al punto è abbastanza (anche se non eccessivamente) lungo, sicuramente il più calcoloso tra tutti e tre gli svolgimenti che occorrono per soddisfare le tre richieste. Giunti ad un certo punto dei calcoli, si profilano due differenti strade che portano al risultato finale (cioè, quello espresso in funzione dei dati forniti dal testo): uno più immediato concettualmente, ma leggermente più contoso; l'altro più rapido dal punto di vista delle operazioni, ma lievemente più difficile da trovare. Se riesci, presenta entrambe le vie risolutive; in caso contrario, dopo l'assegnazione della staffetta, scriverò io uno dei due metodi qualora nessuno fosse riuscito a trovarlo.
I punti e , anche se facoltativi, prevedono metodi risolutivi e calcoli molto meno lunghi di quelli della domanda e non richiedono eccessivo spreco di tempo ed energie.

Secondo me, puoi procedere a svolgere i calcoli.

[Torros]

Ho fatto i calcoli e mi viene lo stesso angolo di Pigkappa e distanza . Non mi è ancora, tuttavia, chiaro cosa si intenda per la dimostrazione del secondo punto. Ci rifletto un po'.

[Tarapìa Tapioco]

Credo tu possa già inviare il punto e il punto (angolo e distanza sono giusti). Il punto è la parte meno difficile del problema: un semplice esercizio di geometria analitica (nulla di più) per dimostrare il quale è tuttavia opportuno descrivere - più o meno dettagliatamente - il tipo di traiettoria descritta dalla cavalletta e, in generale, l'intera raffigurazione.

[Torros]

Punto terzo
Affinché la cavalletta superi il tronco di diametro (considerando la lunghezza del tronco stesso molto maggiore rispetto al diametro) con la minor velocità iniziale è necessario che essa lo cerchi di superare muovendosi in direzione perpendicolare all'asse di rotazione del tronco. E' anche abbastanza evidente che la traiettoria dell'insetto debba essere tangente alla superficie del tronco, sempre per minimizzare la velocità inziale. Imposto dunque il sistema:


Dove rappresenta l'altezza massima raggiunta dalla traiettoria (la quale è descritta dalla prima equazione), rappresenta la distanza dal centro del tronco dalla quale parte la traiettoria dell'insetto. La seconda equazione è l'equazione di una circonferenza di raggio e centro in .
Sostituendo la prima equazione nella seconda otteniamo:



Ponendo il delta di tale equazione uguale a zero (affinché la parabola e la circonferenza siano tangenti), si ottiene:



Risolvendo rispetto ad H si trova:



Ottenendo in funzione di . Ovviamente si è presa una sola soluzione, in quanto è facile verificare che la seconda è negativa (ricordando che R<d).
L'altezza massima può essere descritta attraverso l'equazione del moto:



Dove abbiamo sostituito la velocità inziale rispetto all'asse delle y con sfruttando il principio di conservazione dell'energia e il fatto che la velocità rispetto all'asse delle x rimane costante per via della conservazione della quantità di moto. Risolviamo l'equazione precedente rispetto a ed otteniamo:



Da qui è possibile sostituire l'espressione di in funzione di nell'ultima equazione ed ottenere il tempo che la cavalletta impiega per arrivare a metà della sua traiettoria in funzione di
Sfruttando ancora il fatto che la velocità lungo x rimane costante:



e sostituendo , si ottengono le espressioni della velocità iniziale lungo l'asse delle x e delle y, che sintetizzo in questo sistema esprimendole al quadrato.



La somma delle due velcità al quadrato fornisce la velocità totale iniziale al quadrato, espressa in funzione della sola distanza.


Derivando il quadrato della velocità totale rispetto alla distanza si ottiene:



Ponendo tale derivata maggiore di zero, si scopre che decresce per e cresce per . Il minimo di si ha dunque per:



Sostituendo il valore trovato di in e , dividendo il secondo per il primo e facendo la radice quadrata si ottiene il valore della tangente dell'angolo iniziale :



che fornisce il valore di °

Punto primo
Sostituendo il valore di nell'ultimo sistema scritto, sommando i quadrati di e e mettendo tutto sotto radice otteniamo il valore minimo che la velocità iniziale può assumere per permettere alla cavalletta di superare il tronco:

[Torros]

Più tardi modifico il messaggio inserendo il punto primo (che consiste ora in una semplice sostituzione)

[Tarapìa Tapioco]

I calcoli e i risultati sono tutti giusti. Nonostante il tuo procedimento sia differente dal mio (nettamente meno lungo, e non implicante la determinazione di angolo e distanza al punto per calcolare la velocità ), sei pervenuto ai medesimi risultati con un metodo parimenti corretto e originale. Dopo aver inserito il punto , e dopo aver verificato che la sostituzione restituisca effettivamente il valore di rispondente a quello ufficiale, direi che tu possa prenderti la staffetta già da subito (le domande e sono solo facoltative) oppure risolvere e pubblicare anche la richiesta alla domanda . Come suggerimento per quest'ultimo punto, consiglio di riconoscere, in prima istanza, il tipo di traiettoria seguita dalla cavalletta e la curva rappresentata dal tronco (in verità, già lo hai fatto); e, successivamente, di scegliere un opportuno e conveniente riferimento. Le idee e i successivi calcoli verranno da sé.

Inoltre, dal momento che i due svolgimenti sono differenti, non v'è alcun bisogno di riportare le "due differenti strade che portano al risultato finale" di cui avevo parlato nel messaggio precedente: se può interessare, potrei pubblicare il mio procedimento, presentando questi due differenti metodi, anche per un riscontro di diversi punti di vista che convengono allo stesso risultato.

[Torros]

Facciamo così, visto che ho poche idee sul secondo posta tu la soluzione quando puoi, almeno la cogliamo come "scusa" per postare anche le tue soluzioni. Se non hai voglia di farle per filo e per segno magari dai anche solo la strada per risolvere e lasciare i calcoli, andrebbe benissimo credo.

[Tarapìa Tapioco]

Giusto anche il punto . Per quanto riguarda il punto , la soluzione è veramente davanti ai tuoi occhi: è sufficiente considerare le equazioni della parabola descritta dalla cavalletta e del cerchio rappresentato dal tronco sostituendovi i valori di , e precedentemente calcolati, metterle a sistema e trovarne e valutarne i punti di intersezione. Scelto un opportuno riferimento, un altro metodo consiste nel determinare le coordinate del punto di massimo della traiettoria parabolica e vedere se esse coincidano con quelle del punto di sommità della guida circolare. Comunque, che tu scelga di risolvere o meno la seconda domanda, posterò a prescindere la mia soluzione.

[Torros]

Ti solleciterei ad inserire nella tua soluzione anche il punto due, perché, più che altro, fatica a capire il testo e non vorrei appesantire ulteriormente la discussione con un mio tentativo di risoluzione. Intanto mi prendo la staffetta, ringraziandoti.

[Pigkappa]

Io l'ho fatto come Torros e vorrei vedere la soluzione rapida