Pigkappa ha scritto: ↑25 ago 2023, 14:49
Una mosca malefica viene attirata dalla luce di una lampadina da giardino. La mosca si muove sempre su un piano parallelo al terreno, e invece di dirigersi verso la lampadina facendo il percorso piu' breve, mantiene un angolo
costante rispetto alla congiungente al centro. Fa quindi una specie di spirale. La distanza iniziale tra mosca e centro della lampadina e'
e il raggio della lampadina
.
1) Quanto vale
se la mosca fa esattamente un giro attorno alla lampadina prima di toccarla, come in figura?
2) Quanto vale la lunghezza del percorso fatto, ovvero il perimetro della spirale?
Si indichi con
l'angolo compreso tra la tangente alla traiettoria spiroidale compiuta dalla mosca e la direzione radiale verso al sorgente luminosa da cui è attirato l'insetto: ovviamente, vale
. Se la mosca mantiene un angolo
costante rispetto alla congiungente al centro costituita dai raggi luminosi, allora compie un moto in linea retta solo quando
, avvicinandosi alla luce, o
, allontanandosi dalla stessa; compiendo una spirale, si avvicinerà alla luce quando
e se ne allontanerà per
, mentre nel caso particolare
essa compirà una traiettoria circolare attorno alla sorgente. Nel peculiare caso in esame, la mosca è diretta verso la luce seguendo una spirale equiangolare sul piano (cioè, in 2D), dunque dovrà valere
.
)
L’angolo e la lunghezza del percorso della mosca non dipendono dalla velocità
perché sono determinati solo dalla forma della spirale logaritmica, che è una funzione di
. La velocità influisce solo sul tempo che la mosca impiega a percorrere la spirale, ma non sulla sua geometria. Si può immaginare che se la mosca andasse più veloce o più lenta, la spirale si allargherebbe o si restringerebbe proporzionalmente, ma l’angolo
e la lunghezza
rimarrebbero gli stessi.
)
Assumendo che la luce sia centrata nell'origine e che il vettore posizione dell'insetto sia
 = < x(t), y(t) >)
, le coordinate polari parametriche sono:
 = r(t) \cos(\theta(t)))
e
 = r(t) \sin(\theta(t)))
,
)
in cui
)
è la componente orizzontale di
 = < x(t), y(t) >)
e
)
è la componente verticale al tempo
. In particolare, si è imposto che il raggio vettore
della curva sia una funzione continua e monotona di un angolo
, e ci si è serviti a tal fine di un sistema
di coordinate polari tali che
e
, dove
è la distanza di un punto generico
dall’origine degli assi (considerato come polo della spirale), e l’angolo
indica l’inclinazione di
rispetto all’asse polare (il semiasse positivo delle ascisse).
Derivando le precedenti equazioni, si ottiene:
 = r' \cos(\theta) - r \sin(\theta)\theta')
e
 = r' \sin(\theta) + r \cos(\theta)\theta')
.
)
Particolare interesse riveste il vettore tangente in ogni punto. Per trovare il vettore tangente, che rappresenta la direzione di volo della mosca, si deve ricavare il vettore parametrico
. Utilizzando le equazioni precedenti, si ottiene:
 \cos((\theta(t)), r(t) \sin(\theta(t)) >)
 - r \sin(\theta)\theta', r' \sin(\theta) + r \cos(\theta)\theta' >)
Adesso, sia il raggio vettore unitario di luce indicato con
e sia
il vettore unitario tangente. In particolare si ha,
 = \frac{\overrightarrow{x'}}{||\overrightarrow{x}'||} = \frac{< x', y'>} {\sqrt{(x')^2 + (y')^2}})
)
)
)
Questi vettori hanno un'importante relazione con i vettori discussi in precedenza,
e
. Il vettore
è solo il versore del vettore tangente a
e il vettore
è semplicemente il vettore in direzione opposta a
.
Affinché il modello a spirale descriva il volo della mosca, l'angolo tra tali vettori non deve cambiare. Nel calcolo vettoriale l'angolo tra due vettori può essere dato dal prodotto scalare dei vettori. Pertanto, si consideri il seguente prodotto:
 \cdot \overrightarrow{L}(t) = ||\overrightarrow{T}(t)|| \cdot ||\overrightarrow{L}(t)|| \cos(\alpha) \Rightarrow \cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{T}(t) \cdot \overrightarrow{L}(t)}{||\overrightarrow{T}(t)|| \cdot ||\overrightarrow{L}(t)||})
Poiché si tratta di due vettori unitari (di norma 1), si ha:
|| \cdot ||\overrightarrow{L}(t)|| = 1)
, dunque la precedente equazione sarà:
 = \overrightarrow{T}(t) \cdot \overrightarrow{L}(t))
.
Sostituendo
e
, si ha:
 = \frac{\overrightarrow{x'}(t)}{||\overrightarrow{x'}(t)||} \cdot \frac{- < x(t), y(t) >}{|| < x(t), y(t) > ||})
 = \frac{(x'(t)x(t) + y'(t)y(t))}{\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \cdot \sqrt{(x(t))^2 + (y(t))^2}})
In coordinate polari, l'equazione diventa:
 = \frac{r \cos(\theta ')(r' \cos(\theta) - r \sin(\theta)\theta') + r \sin(\theta)(r' \sin(\theta) + r \cos(\theta)\theta')}{\sqrt{(r')^2 + (\theta')^2 r^2}})
 - r \cos(\theta) \sin(\theta)\theta'+ r' \sin^2(\theta) + r \sin(\theta) \cos(\theta)\theta'}{\sqrt{(r')^2 + (\theta')^2 r^2}})
 + \sin^2(\theta))}{\sqrt{(r')^2 + (\theta')^2 r^2}})
 = \frac{r'}{\sqrt{(r')^2 + (\theta')^2 r^2}})
Unendo le due equazioni di
)
, si ottiene:
 = \frac{(x'(t)x(t) + y'(t)y(t))}{\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \cdot \sqrt{(x(t))^2 + (y(t))^2}} = \frac{r'(t)}{\sqrt{(r')^2 + (\theta')^2 r^2}})
)
Si avanzi l'ipotesi che l'insetto mantenga, nel corso della traiettoria, una velocità
costante. Dunque:
)^2 + (y'(t))^2 = (r'(t))^2 + (\theta'(t))^2 (r(t))^2 = v^2 = cost)
)
Si faccia riferimento alla generica equazione differenziale per il moto spiralico equiangolare in
, cioè:
 = \frac{r' (t)}{\sqrt{(r')^2 + (\theta')^2 r^2}})
. Sostituendovi
)^2 + (\theta'(t))^2 (r(t))^2 = v^2)
, si ha:
 = \frac{r'(t)}{\sqrt{v^2}} \Rightarrow - \cos(\alpha ))
}{v} \Rightarrow r'(t) = -v \cdot \cos(\alpha))
Per trovare
)
, cioè la distanza dall'origine rispetto al tempo, si può integrare ponendo la costante di integrazione
pari alla posizione iniziale
 = D)
, ovvero
 = D)
:
 = \int_{}^{} - v \cdot \cos(\alpha) dt)
\int_{}^{}dt )
\cdot t + D)
 = D - v \cdot \cos(\alpha)\cdot t)
)
Sostituendo
 = - v \cdot \cos(\alpha))
in
, si ha:
)^2 + (\theta'(t))^2 (r(t))^2)
)^2 + \theta'(t)^2 r(t)^2)
 + (\theta'(t))^2(r(t))^2)
 = (\theta'(t))^2(r(t))^2)
.
Risolvendo per
)
, grazie ad una serie di fattorizzazioni, identità trigonometriche, radici quadrate e divisioni, si ottiene:
) = (\theta'(t))^2(r(t))^2)
 = (\theta'(t))^2(r(t))^2)
 = (\theta'(t))(r(t)))
. Sostituendo
, si ha:
 = (\theta'(t))(D - v \cdot \cos(\alpha)\cdot t))
) = \frac{v \cdot \sin(\alpha)}{(D - v \cdot \cos(\alpha)\cdot t)})
.
Integrando, si ha:
 = \int_{}^{}\theta'(t)dt)
}{D - (v \cdot \cos(\alpha))t}dt)
Attraverso l'impiego della posizione
)t)
, e dunque di
)
, si ha:
}du)
. Sostituendo nell'integrale:
 = \int_{}^{} -\frac{1}{u}\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}du)
\int_{}^{}\frac{1}{u}du)
. Infine, si ottiene:
 = - \tan(\alpha) - \ln(D - v \cdot \cos(\alpha)\cdot t) + c)
, dove
è una costante d'integrazione. Si noti che l'argomento del logaritmo dev'essere strettamente maggiore di
, per cui:
 \cdot t > 0)
 \cdot t)
, cioè
})
, intervallo di tempo del volo della mosca.
Ponendo
 = \theta_0)
, posizione iniziale di partenza dell'insetto, si ha:
 = \theta_0 - \tan(\alpha) \cdot \ln(D - v \cdot \cos(\alpha) \cdot t))
 = \theta_0 - \ln\bigg(1 -\frac{vt}{D} \cos(\alpha)\bigg)\tan(\alpha))
.
)
Ricavando
dalla
, si ha:
}{v \cdot \cos(\alpha)})
.
Inserendo tale tempo
nella
, si ha:
 = \theta_0 - \ln\bigg[1 - \frac{v \cdot (D - r)}{D \cdot v \cdot \cos (\alpha)} \cos(\alpha)\bigg] \tan(\alpha))
}{D}\bigg] \tan(\alpha))
 = \theta_0 -\ln \bigg(\frac{r}{D}\bigg) \tan(\alpha))
, da cui:
 = \theta_0 - \ln \left(\displaystyle \frac {r}{D} \right) \tan(\alpha))
 = \displaystyle \frac{\theta_0 - \theta(t)}{\ln \left(\displaystyle \frac{r}{D}\right)})
}{\ln\left(\displaystyle \frac{r}{D}\right)} \right])
Come visibile dal grafico, la mosca parte dalla posizione iniziale
con un angolo
rispetto all'orizzontale pari a
, e compiendo esattamente un giro attorno alla lampadina, transita alla posizione
ad un angolo
)
rispetto alle
pari a
 = \frac{3}{2}\pi)
. Infatti:
 = - \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2}\pi = - 2 \pi)
, negativo perché la mosca compie un giro in senso orario. Sostituendo i valori
 = - 2 \pi)
e
nell'espressione di
, si ha:
}{\ln\left(\frac{r}{D}\right)} \right])
} \right])
} \right]})
La funzione
)
segue un particolare andamento per il quale:
 \le 0)
se
 \le \frac{\pi}{2})
se
L'argomento di
, ossia
}\right])
, è una quantità sempre positiva in quanto rapporto di valori mai negativi, infatti
} \right] \ge 0)
perché
e
 > 0)
dal momento che
. Quindi, come da assunzione iniziale,
.
)
Per calcolare la lunghezza del percorso compiuto, bisogna fare riferimento alla formula (che qui non si intende dimostrare) per la lunghezza delle curve regolari espresse in forma polare, cioè quelle funzioni presentantisi nella forma:
))
, con
])
. Essa si calcola nel seguente modo:
}\sqrt{(r(\theta))^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}d\theta)
Dalla
, si ha:
 = \theta_0 - \ln\left(\frac{r}{D}\right) \tan(\alpha))
 \tan(\alpha))
)
)
}{\tan(\alpha)})
) = D \cdot e^{\frac{\theta_0 - \theta(t)}{\tan(\alpha)}})
.
Sostituendo i valori costanti
e
 = \left[\frac{2 \pi}{\ln\left(\frac{D}{R}\right)} \right])
, si ha:
) = D \cdot e^{\frac{-\frac{\pi}{2} - \theta(t)}{\left[\frac{2 \pi}{\ln\left(\frac{D}{R}\right)} \right]}} = D \cdot e^{\frac{-\ln \left(\frac{D}{R}\right)\left(\frac{\pi}{2} +\theta(t)\right)}{2 \pi}})
) = D \cdot e^{\frac{\ln \left(\frac{R}{D}\right)\left(\frac{\pi}{2} +\theta(t)\right)}{2 \pi}})
La sua derivata è pari a:
(\frac{\pi}{2} +\theta(t))}{2 \pi}} \cdot \frac{\ln(\frac{R}{D})}{2\pi})
.
Sostituendo nell'integrale:
\left(\frac{\pi}{2} +\theta(t)\right)}{2 \pi}}\right]^2+\left[D \cdot e^{\frac{\ln \left(\frac{R}{D}\right)\left(\frac{\pi}{2} +\theta(t)\right)}{2 \pi}} \cdot \frac{\ln(\frac{R}{D})}{2\pi}\right]^2} d\theta)
\left(\frac{\pi}{2} +\theta(t)\right)}{2 \pi}}\right]^2 \cdot \left[1 +\frac{\ln^2(\frac{R}{D})}{(2\pi)^2}\right]} d\theta)
}{(2\pi)^2}\right]} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} e^{\frac{\ln \left(\frac{R}{D}\right)\left(\frac{\pi}{2} +\theta(t)\right)}{2 \pi}})
.
Dunque:
}{(2\pi)^2}\right]} \cdot\frac{2\pi}{\ln (\frac{R}{D})}\left[e^{\frac{\ln\left(\frac{R}{D}\right)}{2\pi}(\frac{\pi}{2}+\theta)}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi})
}{(2\pi)^2}\right]} \cdot \frac{2\pi}{\ln (\frac{R}{D})}\left[e^{\frac{\ln\left(\frac{R}{D}\right)}{2\pi}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{2}\right) - e^{\frac{\ln\left(\frac{R}{D}\right)}{2\pi}}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)}\right])
}{(2\pi)^2}\right]} \cdot\frac{2\pi}{\ln \left(\frac{R}{D}\right)} \left(\frac{R}{D}-1\right))
}{(2\pi)^2}\right]} \cdot\frac{2\pi}{\ln \left(\frac{D}{R}\right)} \left(1 - \frac{R}{D}\right))
}{(2\pi)^2}\right]} \cdot\frac{2\pi}{\ln \left(\frac{D}{R}\right)} \left(\frac{D-R}{D}\right))
\sqrt{\left[1 +\frac{\ln^2(\frac{R}{D})}{(2\pi)^2}\right]} \cdot\frac{2\pi}{\ln \left(\frac{D}{R}\right)})
\sqrt{\left[1 +\frac{\ln^2(\frac{R}{D})}{(2\pi)^2}\right]\cdot \frac{(2\pi)^2}{\ln^2 (\frac{D}{R})}})
\sqrt{\left[\frac{2\pi}{\ln(\frac{D}{R})}\right]^2 +1}})
.
Evitando l'integrale di linea lungo la curva, è possibile calcolare il perimetro della spirale descritta dall'insetto in maniera molto più rapida. La lunghezza
del percorso tracciato dalla mosca è descritta dalla legge oraria del moto rettilineo uniforme
, dunque da:
dt)
.
Al punto
, si era pervenuti all'equazione
, descrivente la legge oraria di
:
 = r_0 - v \cdot \cos \alpha \cdot t)
.
Al tempo
, la mosca si trova alla posizione iniziale
 = r(0) = r_0 = D)
; al tempo
, la mosca giunge, dopo aver percorso un giro completo di angolo
, alla posizione finale
 = r(T) = R)
. L'equazione oraria di
può dunque essere scritta come:
.
Da tale equazione, è possibile ricavare la velocità
:
.
Si riscriva l'espressione di
, ponendo come estremi di integrazione
e
dt)
Poiché la velocità
 = v)
è supposta costante nel tempo, allora può essere portata fuori dall'operatore integrale:
)
Poiché, per il valore trovato in precedenza in
,
}\right])
, allora
}\right)\right])
}\right]^2}})
. Dunque, sostituendo
in
:
}\right]^2}}})
\sqrt{1+\left[\frac{2\pi}{\ln(\frac{D}{R})}\right]^2}})
