Relatività ristretta

[Torros]

Studiando relatività mi è sorta una domanda circa gli intervalli temporali misurati da osservatori fermi e in moto. In particolare, uno dei primi passaggi dopo aver chiarito i due postulati è quello di dimostrare che , ovvero che il quadrato della distanza tra due eventi è invariante. Ora pensiamo ad un sistema di riferimento che si muova con velocità costante rispetto ad un secondo sistema di riferimento . In virtù di uno dei due postulati, l’osservatore solidale con il sistema di riferimento non può distinguere se a muoversi sia lui o il sistema di riferimento . Perciò può ipotizzare di essere in quiete e dunque sostenere che dove dx è la distanza che il sistema di riferimento sostiene sia percorsa dal sistema . Da questa equazione si giunge a dire che .
Se però si considerasse in moto, la precedente diventerebbe , dalla quale segue che . Mi potreste spiegare come mai i due risultati sono contrastanti? L’unica cosa che mi viene in mente è che veramente K non possa dire nulla sull’intervallo misurato in un altro sistema di riferimento, a meno che non si verifichi una asimmetria (come il gemello sulla astronave nel relativo paradosso, in cui costui è costretto a tornare dal fratello per verificare che il suo orologio sia in ritardo rispetto all’orologio rimasto a terra e nel compiere questo ritorno sia costretto a decelerare fino ad invertire la sua velocità, comprendendo di essere lui nel sistema in moto).
Vi ringrazio.

[Darryl Fields]

Aspetto la tua stessa risposta

[Tarapìa Tapioco]

Studiando relatività mi è sorta una domanda circa gli intervalli temporali misurati da osservatori fermi e in moto. In particolare, uno dei primi passaggi dopo aver chiarito i due postulati è quello di dimostrare che , ovvero che il quadrato della distanza tra due eventi è invariante. Ora pensiamo ad un sistema di riferimento che si muova con velocità costante rispetto ad un secondo sistema di riferimento . In virtù di uno dei due postulati, l’osservatore solidale con il sistema di riferimento non può distinguere se a muoversi sia lui o il sistema di riferimento . Perciò può ipotizzare di essere in quiete e dunque sostenere che dove dx è la distanza che il sistema di riferimento sostiene sia percorsa dal sistema . Da questa equazione si giunge a dire che .
Se però si considerasse in moto, la precedente diventerebbe , dalla quale segue che . Mi potreste spiegare come mai i due risultati sono contrastanti? L’unica cosa che mi viene in mente è che veramente K non possa dire nulla sull’intervallo misurato in un altro sistema di riferimento, a meno che non si verifichi una asimmetria (come il gemello sulla astronave nel relativo paradosso, in cui costui è costretto a tornare dal fratello per verificare che il suo orologio sia in ritardo rispetto all’orologio rimasto a terra e nel compiere questo ritorno sia costretto a decelerare fino ad invertire la sua velocità, comprendendo di essere lui nel sistema in moto).
Vi ringrazio.

Ottima osservazione. Cercherò di chiarire questo dubbio nella maniera più cristallina possibile.

Mi potreste spiegare come mai i due risultati sono contrastanti?

I due risultati non sono contrastanti, dal momento che non sono riferiti agli stessi eventi.

Nel primo caso si stanno considerando due eventi (segnatamente indicati con e ) che si verificano nello stesso punto spaziale ma in tempi diversi nel sistema di riferimento . In termini simbolici, e . Questi due accadimenti, tuttavia, si verificano in punti spaziali diversi e in tempi diversi nel riferimento : e . I pedici sottolineano il riferimento ai due eventi e .

Nel secondo caso, si stanno prendendo in esame due eventi e per i quali , ; e . In lettere: i due avvenimenti si verificano nello stesso punto spaziale ma in tempi differenti nel riferimento , mentre nel riferimento accadono in punti spaziali e tempi diversi. Anche qui, i pedici si riferiscono ai due eventi e .

Non appare difficile notare che i due eventi indicati con e non possono essere gli stessi eventi contrassegnati con e . Pertanto, non v'è alcuna situazione conflittuale nell'affermare che , mentre .

Per dimostrare, inoltre, che l'intervallo di spazio-tempo è invariante in tutti i sistemi di riferimento inerziali, è prima necessario ricavare le Trasformazioni di Lorentz, ovvero la trasformazione delle coordinate spaziali tra due sistemi di riferimento inerziali. Si noti che le Trasformazioni di Lorentz codificano i tre concetti fondamentali di dilatazione del tempo, contrazione delle lunghezze e relatività della simultaneità. Proprio quest'ultimo concetto rappresenta il fondamento della questione su cui si sta disquisendo. Supponendo di valutare due eventi simultaneamente al tempo in corrispondenza delle posizioni e nel riferimento inerziale , allora la trasformazione temporale di Lorentz restituisce, nel sistema di riferimento non inerziale , le relazioni: . Imponendo e si ha: .
Da ciò si evince che: due eventi separati da una distanza che avvengono simultaneamente in , non avvengono simultaneamente in ; nel caso in cui si abbia , la formula dà , perciò due accadimenti che avvengono nello stesso punto spaziale e simultaneamente in avvengono simultaneamente anche in , dove per "avvenire simultaneamente" si intende che i due eventi possiedono le medesime coordinate temporali.

[Torros]

Grazie davvero, ora è tutto estremamente più chiaro. Già che ci sono sfrutto tale sezione per porre un'altra domanda rispetto alla teoria. Questa volta il dubbio sorge riguardo all'azione relativistica, aspetto non proprio secondario visto che porta alla conclusione che i corpi seguano geodetiche dello spazio-tempo. Per chi non la conoscesse, la riporto:

Dove rappresenta una costante positiva da determinare per confronto con la lagrangiana classica di una particella libera. Non esplicito le regioni del segno meno, ma è fondamentale affinché l'azione abbia un minimo. La domanda è la seguente: come mai si minimizza proprio l'integrale rispetto a ? Una giustificazione intelligente che ho letto è che l'azione deve essere invariante rispetto a trasformazioni di Lorentz. Il problema è che non capisco come mai sia stato scelto proprio come scalare.
Provo anche in questo a dare una spiegazione possibile, ma che non so minimamente se sia corretta: Ponendo come scalare ed esprimendo quest'ultimo in funzione e dopo aver trovato il valore di per confronto con la lagrangiana classica si ottiene la lagrangiana relativistica. Una volta derivata quest'ultima in funzione della velocità si ottiene come è noto l'impulso della particella. Quest'ultimo valore poteva essere ricavato per altre vie senza tirare in ballo la lagrangiana e, dunque, ripercorrendo il cammino a ritroso considerando conosciuto l'impulso della particella si ottiene l'azione scritta all'inizio. Ha senso quello che dico oppure sbaglio ed esiste una ragione più profonda? Grazie ancora.

[Tarapìa Tapioco]

La domanda è la seguente: come mai si minimizza proprio l'integrale rispetto a ? Una giustificazione intelligente che ho letto è che l'azione deve essere invariante rispetto a trasformazioni di Lorentz.

è la distanza spaziale in forma differenziale, dunque è invariante sotto qualsiasi Trasformazione di Lorentz. Più direttamente:

, dove rappresentano due eventi dello spaziotempo. Ciò accade perché entrambi gli integrali rappresentano la distanza spaziale tra e .

Il problema è che non capisco come mai sia stato scelto proprio come scalare.

La definizione di scalare è quella per cui esso è invariante sotto trasformazioni di coordinate. L'intervallo di spaziotempo, pertanto, è uno scalare, sia esso in forma finita o in forma differenziale .

Qui di seguito si offre una giustificazione/derivazione che cerca di andare incontro al tuo tentativo e da cui si possono trarre alcune conclusioni.

Esempio di Lagrangiana per una particella relativistica libera

La Lagrangiana per una particella relativistica libera è della forma , a causa della definizione di un sistema di riferimento inerziale.
È necessario richiedere anche l'invarianza rispetto alle Trasformazioni di Lorentz:



Mantenendo al primo ordine in e utilizzando :

. Dunque, per piccole , si ha:

La nuova Lagrangiana si otterrà da un'espansione di Taylor di al punto . Ricordando che la serie di Taylor di una funzione in un punto è data da


,

allora, assumendo , e (con funzione di e parametro assunto abbastanza piccolo da poter trascurare i termini di ordine superiore della serie), si ottiene: , con (in questo caso, indicando la derivata parziale con , si è utilizzato un abuso di notazione per chiarire l'impiego della derivata rispetto allo sviluppo polinomiale di Taylor, ma in questo peculiare caso la grafia è corretta perché è funzione di una sola variabile) e . Sostituendo:

, da cui:



Applicando le Trasformazioni di Lorentz per il nuovo valore di tempo:





Si noti che . Mantenendo al primo ordine in :



La nuova operazione è data da:



Mantenendo al primo ordine in :



La variazione dell'integrale dell'operazione sarà una derivata totale:



La determinazione del valore suggerisce di fissare il resto ad una costante. Inoltre, il termine deve essere annullato, il che indica che



Semplificando:



L'unica soluzione non banale è:

,

dove è una costante.

Si può dedurre il valore di , in quanto, per il limite , si dovrebbe ricavare la Lagrangiana di una particella libera non relativistica.



Ignorando la costante additiva, che non influisce sul moto, e ponendo il termine destro uguale alla Lagrangiana non relativistica, si ottiene:

,

da cui:



Pertanto, la forma di per una particella relativistica è data da:

[Torros]

Ti ringrazio per la risposta. Mi è tutto chiaro tranne questo sviluppo:

La nuova Lagrangiana è data da:

.

Probabilmente è banale, ma non riesco a capirlo nemmeno per la lagrangiana classica
Se riuscissi a spiegarmi tale passaggio saresti riuscito a convincermi: la tua giustificazione mi sembra abbastanza solida. Grazie ancora

[Tarapìa Tapioco]

Ti ringrazio per la risposta. Mi è tutto chiaro tranne questo sviluppo:

La nuova Lagrangiana è data da:

.

Probabilmente è banale, ma non riesco a capirlo nemmeno per la lagrangiana classica
Se riuscissi a spiegarmi tale passaggio saresti riuscito a convincermi: la tua giustificazione mi sembra abbastanza solida. Grazie ancora

L'idea è quella per cui, per piccole , si ha:

.

Utilizzando un'espansione di Taylor per al punto , si ha:

.

I calcoli seguiranno da qui, fino a pervenire al risultato da te citato. In tal senso, ho modificato il mio messaggio di partenza, pubblicando i passaggi algebrici completi ed estesi.

[Torros]

Perfetto, ora la dimostrazione mi sembra impeccabile. Ti ringrazio davvero, questi due dubbi mi attanagliavano già da un po' e credo sia un peccato assumere qualcosa come corretto senza aver chiara per lo meno una giustificazione, soprattutto quando si ha a che fare con una teoria così bella. Grazie!

[Torros]

Scusa se disturbo ancora, ma credo di aver notato un'imprecisione nello sviluppo della funzione. Credo che sarebbe più opportuno definire la questione in questo modo:, . In tal modo lo sviluppo di calcolato nel punto diventa:




E a questo punto, con un semplice passaggio algebrico:



Non riesco a trovarmi con la tua definizione di e . Mi sembra invece che in tal modo si possa ovviare al problema. Fammi sapere se puoi. Grazie ancora

[Tarapìa Tapioco]

Scusa se disturbo ancora, ma credo di aver notato un'imprecisione nello sviluppo della funzione. Credo che sarebbe più opportuno definire la questione in questo modo:, . In tal modo lo sviluppo di calcolato nel punto diventa:




E a questo punto, con un semplice passaggio algebrico:



Non riesco a trovarmi con la tua definizione di e . Mi sembra invece che in tal modo si possa ovviare al problema. Fammi sapere se puoi. Grazie ancora

Buona osservazione. Ho sempre piacere a rispondere a obiezioni mature e critiche come questa.
Il mio sviluppo originario, con annesse definizioni di e , è tuttavia corretto e non include imprecisioni. Fornisco una motivazione che corrobori l'esattezza del mio ragionamento richiamando alcune nozioni di Fisica e Analisi Matematica.

Credo che sarebbe più opportuno definire la questione in questo modo:, .

L'obiettivo in esame è il calcolo della Lagrangiana in corrispondenza del punto , ottenuta da uno sviluppo di Taylor della Lagrangiana di partenza calcolata nel punto , al punto finale .
Le derivate in uno sviluppo polinomiale di Taylor sono valutate nel punto di riferimento, non nel punto variabile: pertanto, le definizioni di "punto di riferimento" e "punto variabile" sono tali per cui il primo (punto di riferimento) è quello in cui si calcola la derivata, mentre il secondo (punto variabile) non lo è.
Poiché, come preannunciato all'inizio della trattazione della Lagrangiana di una particella libera relativistica, quest'ultima si presenta nella forma in un sistema di riferimento inerziale (unprimed frame) , il punto di riferimento (coincidente - come poc'anzi ricordato - con il punto di valutazione) sarà , mentre il punto variabile sarà , con funzione di . Pertanto, le definizioni corrette nel sistema di riferimento inerziale sono e , come risulta dal mio procedimento.
Si noti come vi sia la possibilità di cambiare riferimento ed eseguire il calcolo nel sistema di riferimento non inerziale (primed frame) : in questo caso, sarebbe il punto di riferimento (dunque, di valutazione) e quello dislocato, come hai scritto tu. Queste definizioni, al pari di quelle sopra riportate, sono giuste, purché si applichi consistentemente la scelta del sistema di riferimento precedentemente compiuta: il punto di riferimento, dunque, è non arbitrario, bensì determinato dal particolare riferimento adottato.
Perciò, le definizioni e sono inconsistenti rispetto alla scelta preliminare del sistema di riferimento inerziale , dunque non sono corrette qualora i calcoli vengano svolti - come in questo caso - rispetto a quest'ultimo. Infatti, tali definizioni da te proposte (in luogo, invece, di quelle inverse) conducono ad un risultato per

che differisce da quello da me calcolato secondo l'equazione

a causa della discrepanza tra i due termini comprendenti la derivata prima: nel tuo caso, nel mio. Proprio tale discordanza tra sistema di riferimento scelto nei calcoli (in questo caso, inerziale) e presunte definizioni ad esso afferenti ( e , anziché e ) ha comportato l'insorgenza di questo piccolo inconveniente. Difatti, nella Lagrangiana dev'essere presente il termine di derivata prima della Lagrangiana calcolata nel punto di riferimento (e di valutazione) del sistema di riferimento scelto: nella mia equazione, compare correttamente un termine di derivata di Lagrangiana calcolata in , in quanto proprio è il punto di riferimento decretato dal sistema di riferimento inerziale inizialmente introdotto; nella tua equazione, invece, compare un termine di derivata di Lagrangiana calcolata in , che è punto di riferimento non per il sistema di riferimento inerziale, ma rispetto al sistema di riferimento del laboratorio . In verità, il tuo risultato finale non evidenzia veramente un errore (soltanto un'imprecisione che fa pochissima, se non nessuna, differenza nei riguardi dell'oggetto di discussione iniziale), dal momento che la differenza tra e è una piccola quantità del secondo ordine, analoga a un'espressione del tipo . Esso, tuttavia, dimostra e suffraga come, invertendo le definizioni di e , siano stati scambiati anche i corrispondenti sistemi di riferimento. Il problema, allora, risiede nel fatto che, cambiando un sistema di riferimento, bisogni ricominciare l'intera analisi dall'inizio: non è possibile invertire le definizioni di e in un'unica equazione, ottenuta con una serie di approssimazioni che presupponevano l'utilizzo del sistema di riferimento inerziale .

Mi sembra invece che in tal modo si possa ovviare al problema.

Come avrai potuto capire, dunque, il tuo metodo non può ovviare ad un problema non definibile nei termini in cui lo hai concepito e inteso. L'errore più frequente (commesso anche da te), rivelantesi poi cruciale nella continuazione del procedimento, è assumere - facendoli coincidere - il punto in cui si vuole calcolare l'espansione di Taylor (e, dunque, la Lagrangiana) come punto di valutazione della derivata nella serie di Taylor.