303. Un cubo e la sua gravità

[Pigkappa]

Un cubo di materia oscura di densità uniforme si trova nello spazio, e non si muove. Un corpo parte da fermo, a grande distanza dal cubo, e viene attratto dal cubo per gravità. Il corpo ha velocità quando passa per un vertice del cubo. Se il corpo passa poi per il centro del cubo, che velocità ha in quel momento?

[Higgs]

La materia oscura è quella che interagisce gravitazionalmente ma non elettromagneticamente? Finché il corpo è fuori dal cubo vede la massa del cubo concentrata nel suo centro e la conservazione dell'energia cinetica più potenziale (negativa) esige che il totale sia nullo come all'inizio? Fino all'ingresso si può integrare l'equazione di Newton integrata con la seconda legge della dinamica con il trucco di moltiplicare i due membri per 2v e di eliminare dt al denominatore di ambo i membri? O non ho capito il testo e quanto dico è sciocco?

[Torros]

Fino all'ingresso si può integrare l'equazione di Newton integrata con la seconda legge della dinamica con il trucco di moltiplicare i due membri per 2v e di eliminare dt al denominatore di ambo i membri?

Mi potresti spiegare cosa intendi con questo trucco? Ad ogni modo a me sembra bastino solo considerazioni energetiche: come credo giustamente dici l’energia totale del corpo inizialmente fermo e posto a grande distanza dal cubo deve risultare pari a zero in ogni istante. Poiché la forza gravitazionale al centro del cubo deve risultare per simmetria pari a zero, ne consegue che anche l’energia potenziale gravitazionale sia zero e, per la conservazione dell’energia, che pure l’energia cinetica sia zero. Perciò la velocità al centro del cubo è nulla. Avrò detto qualche fesseria, vi prego di correggermi.

[Pigkappa]

La materia oscura è quella che interagisce gravitazionalmente ma non elettromagneticamente?

Giusto

Finché il corpo è fuori dal cubo vede la massa del cubo concentrata nel suo centro

Sbagliato
Il campo gravitazionale al di fuori di una distribuzione di massa non e' uguale a quello che si avrebbe se la massa fosse nel baricentro. Questo e' vero solo se la distribuzione ha simmetria sferica, non e' vero in generale.

la conservazione dell'energia cinetica più potenziale (negativa) esige che il totale sia nullo come all'inizio?

Giusto

Fino all'ingresso si può integrare l'equazione di Newton integrata con la seconda legge della dinamica con il trucco di moltiplicare i due membri per 2v e di eliminare dt al denominatore di ambo i membri?

La parte di moltiplicare per 2v non l'ho capita.
La conservazione dell'energia si ottiene avendo integrato la seconda legge della dinamica , se intendi questo...

la forza gravitazionale al centro del cubo deve risultare per simmetria pari a zero

Giusto

ne consegue che anche l’energia potenziale gravitazionale sia zero

Sbagliato
Immagina sia una sfera invece che un cubo. La gravita', sia dentro che fuori dalla sfera, e' sempre diretta verso il centro. Quindi il corpo, quando arriva nel centro, avra' velocita' massima. L'energia potenziale gravitazionale nel centro e' minima - negativa e massima in valore assoluto. Non e' zero.

Potete provare a risolvere il caso in cui la distribuzione sia sferica, invece che cubica, che e' piu' standard, e aiuta a chiarire i concetti.

[Higgs]

Mentre nei prossimi giorni tenterò la simmetria sferica che ci ha suggerito Pigkappa volevo spiegare meglio il discorso del 2v perché se non è chiaro né a Torros né a Pigkappa dipende da me. Volevo dire che Moltiplicando i due membri per 2v=2dr/dt il primo membro diventa ed il secondo per cui eliminando dt ad ambo i membri si può integrare rispetto a v il primo membro fra 0 e il dato del testo ed il secondo rispetto ad r fra infinito e il vertice . Mi pare che venga la conservazione dell'energia ovvero ...

[Torros]

Provo a risolvere il problema per una distribuzione di antimateria sferica.
In tale caso è possibile sfruttare il teorema di Gauss per ricavare il valore dell'accelerazione che agisce sulla particella punto per punto:



Con il versore rivolto verso l'esterno della sfera. Scrivo ora l'accelerazione come prodotto della derivata della velocità rispetto al raggio e la derivata del raggio rispetto al tempo, ovvero la velocità:



Porto a destra e risolvo l'integrale di sinistra da a (dove rappresenta la velocità della particella al centro) e l'integrale di destra da (raggio della sfera) a 0.
Da qui segue che:



Ora mi chiedo come si possa passare al caso del cubo. La differenza sta ovviamente nella mancanza di simmetria e perciò nella difficoltà di trovare l'accelerazione punto per punto. Ho poi un'altra domanda: se sappiamo che il corpo partito da grande distanza arriva al vertice del cubo, possiamo supporre che la velocità abbia come direzione la diagonale del cubo? Magari per una questione di simmetria che non vedo? O non serve a nulla? Grazie.

[Pigkappa]

Nel testo l'unica variabile data è quindi, a meno di dimostrare che proprio non si può, la risposta si deve esprimere solo in termini di (e costanti numeriche tipo pi greco o radice di 2, e fisiche tipo G). Manca un'idea per eliminare la dipendenza da ...

[Torros]

L’energia potenziale U rispetto al raggio risulta essere:



Per la conservazione dell’energia, quest’ultima deve risultare pari a zero lungo tutto il moto; dunque l’energia potenziale del corpo quando possiede velocità (ovvero quando dista dal centro della sfera) deve essere pari a:



Semplificando otteniamo la relazione:



Si può scrivere come:

[Pigkappa]

Perfetto

Nel caso del cubo non importa se il moto è esattamente lungo la diagonale o no. Se la velocità iniziale è esattamente 0 in pratica lo deve essere ma per considerazioni energetiche non fa differenza.

[Higgs]

Il tuo è ancora a simmetria sferica ma mi sembra che non è eliminata la dipendenza da M e R quello che richiede Pigkappa. Perchè esprimi V per mezzo di v e va bene ma v dipende da M e da R...Vale comunque anche per il problema del testo che dovendo la loro somma essere zero anche quando passa dal centro in cui F=0, -dU/dr=0 ma sempre per la condizione che la somma dell'energia cinetica e di quella potenziale deve annullarsi.