Torros ha scritto: ↑24 mar 2023, 16:48
Mi potreste spiegar questa affermazione? Non riesco a capire come mai le sommatorie non si possano compensare in modo che l'energia potenziale del sistema risulti zero
Mi era sfuggita quella cosa..!
Le sommatorie possono compensarsi.
bosone ha scritto: ↑24 mar 2023, 18:41
non sembra necessario che se il sistema è in equilibrio il potenziale debba annullarsi.
Concordo che non
sembra necessario, ma questa non e' una dimostrazione che mi convince del tutto. Se vuoi dimostrare che una affermazione e' falsa, la cosa migliore e' un controesempio. Se vuoi dimostrare che e' vera, serve una dimostrazione.
bosone ha scritto: ↑24 mar 2023, 11:22
})
Visto che mi hai chiesto ulteriore feedback... Qui ho capito cosa vuoi dire, ma la notazione e' un po' strana, se lo scrivi in un esame di Fisica 2 i correttori non saranno troppo contenti
A Fisica 1 probabilmente ti perdonano. Diciamo che ti ho dato un po' il beneficio del dubbio. C'e' almeno una sommatoria che hai sottinteso (o dimenticato di scrivere), il modo di esprimere il versore e' inusuale e il dividere per
al denominatore, anche se qua da' il risultato giusto facendo il conto, non mi pare corretto.
Elaboro sul gradiente con un po' piu' di formalismo.
Se
)
e' il vettore posizione della prima particella in coordinate cartesiane, e
)
la sua energia potenziale in funzione della posizione, e' corretto scrivere:
 = - \Big( \frac{\partial U}{\partial x_1}, \frac{\partial U}{\partial y_1} ,\frac{\partial U}{\partial z_1} \Big) = - \frac{\partial U}{\partial x_1}\hat x - \frac{\partial U}{\partial y_1} \hat y - \frac{\partial U}{\partial z_1} \hat z)
Qui sopra le derivate sono calcolate in
, lo puoi anche esplicitare scrivendo
)
se vuoi.
Queste espressioni sono semplici in questo caso in cui abbiamo fissato coordinate cartesiane
. In generale, il vettore forza e' ottenuto dalla energia potenziale con l'operazione di gradiente
che trasforma uno scalare in un vettore:
. La delta rovesciata
si chiama (e in LaTeX si esprime come) nabla, anche se quando si legge in genere si dice "gradiente di U" piu' spesso che "nabla di U". In coordinate cartesiane, il gradiente si calcola come scritto qua sopra, ovvero le coordinate del gradiente sono le derivate del potenziale rispetto ad ogni coordinata. Nel caso generale di espressioni vettoriali puo' essere difficile da calcolare senza passare in coordinate, ma ci sono alcune regole, simili al calcolo delle derivate, che permettono di farlo. Il modo di dimostrare questo regole in fondo e' quello di dimostrarle in coordinate, ma una volta che si sanno, si possono usare. La funzione:
 = k q_1 \sum_{j>1}\frac{q_j}{|\vec r_1 - \vec r_j|})
Ha gradiente:
}{|\vec r_1 - \vec r_j|^3})
E quindi
}{|\vec r_1 - \vec r_j|^3})
Che poi e' la forza di Coulomb, cioe' forza diretta lungo la congiungente, repulsiva se le cariche hanno lo stesso segno, e in modulo proporzionale al quadrato della distanza, infatti vedi una potenza di distanza al numeratore e tre al denominatore. L'ho scritta cosi' perche' non mi viene in mente un modo comodo per scrivere il versore che va da
a
, scrivere
non mi sembra corretto perche' se
e
sono i due versori individuali allora non e' vero che la loro differenza ha per forza modulo uno, e
si puo' usare ma non mi piace l'ambiguita' sul fatto se va da 1 a j, oppure da j a 1.
Come ho calcolato il gradiente qua sopra? Mi ricordo che
, e con un po' di accortezza capisco che il sottrarre un altro vettore al denominatore non cambia granche'. Dato che non calcolo gradienti spesso, per confermare che lo sto calcolando giusto, ho anche espresso a mente
nel caso bi-dimensionale, ho calcolato a mente le derivate parziali di questa formula, e mi sono accertato che il gradiente espresso in coordinate mi dia la stessa formula di qua sopra.
Finora comunque abbiamo solo ri-espresso il problema in forma algebrica, ma ancora non e' risolto
