301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale

Messaggio da **Pigkappa** » 16 apr 2023, 11:34

Ho nascosto un po' di passaggi dicendo "i versori restano uguali", ti lascio provare a dimostrarlo (o comunque dimostrare che F'=F anche scrivendole senza versori)

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 17 apr 2023, 17:38

Pigkappa ha scritto: ↑13 apr 2023, 1:16 "Trasportando tutto il sistema all'infinito" che vuol dire?

Se non fai altro che traslare il tutto, i $\vec r_i - \vec r_j$ rimangono uguali, quindi il calcolo di $U$ rimane uguale. E quindi non hai dimostrato che U è zero

Non sono d'accordo poichè traslare il tutto significa spostare, rispetto ad un riferimento iniziale, ugualmente di $\vec\Delta r$ tutte le cariche come fai tu del resto ma più pericolosamente(vedi sotto). Solo che rimane costante ed uguale a $\vec 0$ senza equivoci ogni $\vec F_i=\vec 0$ così come la loro risultante. Pertanto questo spostamento avviene senza compiere lavoro dall'esterno. Se poi, come dici tu, ripetiamo all'infinito lo spostamento si dimostra che l'energia potenziale $U_e$ doveva inizialmente essere zero.
Invece con il tuo metodo $\vec r_i$ ed $\vec r_j$ variano in misura diversa anche se con lo stesso versore iniziale ed $\epsilon$ , anche se lo indichi così, non è affatto un infinitesimo. E' una variazione percentuale $\vec\delta r_i/\vec r_i$ riferita a vettori diversi che si allontanano sempre più e quindi si presta all'equivoco. Mi sembra infatti che si riproponga il problema, sottolineato anche da te, che uno dei due o entrambi cadano in una zona dove i vettori $\vec F_i , \vec F_j$ non sono nulli.

Messaggio da **Pigkappa** » 17 apr 2023, 23:20

Dato per ipotesi che $\vec F_i = \vec 0$ per ogni $i$ , vogliamo dimostrare che $U = 0$ .

Se possiamo portare le cariche all'infinito facendo zero lavoro, allora la tesi e' dimostrata, perche' $U = 0$ all'infinito e $U_1 = U_2$ (usando 1 e 2 per indicare stato iniziale e finale) perche' abbiamo fatto zero lavoro.

Ma cosa vuol dire "all'infinito"? La formula per $U$ e' $U = \sum_{i < j}\frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ . Quando si dice "portare le cariche all'infinito" si intende portarle a distanza infinita le une dalle altre, e in tal modo $r_{ij} \rightarrow + \infty$ e si vede anche dalla formula che la somma va a zero se il numero di cariche e' finito, perche' ogni termine va a zero.

Il tuo modo di portarle all'infinito, traslando tutte le cariche insieme, lascia invariate tutte le distanze $r_{ij}$ , quindi non porta le cariche in una configurazione per cui $U \rightarrow 0$ . Lascia $U$ del tutto invariata. Quindi le porta "all'infinito" ma non nel senso giusto per quello che vogliamo fare.

Il mio metodo invece porta tutti i $r_{ij}$ a crescere e quindi $U \rightarrow 0$ . Ma e' vero che il mio metodo e' piu' complicato e che e' piu' difficile verificare che nel mio caso $F_i$ rimane sempre zero durante il moto... Pero' e vero e ora cerco di nuovo di convincertene tra due o tre messaggi.

Messaggio da **Pigkappa** » 17 apr 2023, 23:23

Higgs ha scritto: ↑17 apr 2023, 17:38 E' una variazione percentuale $\vec\delta r_i/\vec r_i$ riferita a vettori diversi che si allontanano sempre più e quindi si presta all'equivoco.

Questo e' un inciso, ma non c'e' niente di male ad avere infinitesimi diversi.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}{(x-1)} = 0$
Come anche
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}{\frac{x-1}{2}} = 0$
Questi due limiti sono zero entrambi, quindi possiamo dire che le quantita' $f_1(x) = x-1$ e $f_2(x) = \frac{x-1}{2}$ sono entrambe infinitesime per $x \rightarrow 1$ , ma indubbiamente $f_2$ e' piu' piccola di $f_1$

Quando dici "si presta all'equivoco" probabilmente vuoi dire che la cosa genera confusione, e sono d'accordo che un pochino la genera, soprattutto se non si e' abituati a manipolare quantita' infinitesime. Ma allo stesso modo, le equazioni di secondo grado generano confusione se non le si e' mai usate. Non vuol dire che si possono sempre evitare

Messaggio da **Pigkappa** » 17 apr 2023, 23:49

Provo a rispiegare il mio procedimento sulle forze... Fisso l'origine da qualche parte, e considero le posizioni $\vec r_i$ e $\vec r_j$ di due particelle. Sposto le particelle, portandole a $\vec r_i_2 = r_i + \varepsilon \vec r_i = (1 + \varepsilon)\vec r_i$ e $\vec r_j_2 = r_j + \varepsilon \vec r_j = (1 + \varepsilon)\vec r_j$ . Ai vettori applico un "2" al pedice invece che un apostrofo perche' l'apostrofo si legge male in LaTeX con la freccia di vettore. Scelgo $\varepsilon \ll 1$ cosi' che il lavoro fatto su ogni particella sia infinitesimo a sua volta.

Faccio un inciso, ma qua temo di perderti se non hai ancora studiato analisi. Se vogliamo essere piu' formali e giustificare cosa vuol dire che il lavoro fatto per spostarci di $\epsilon$ e' zero, intendo quel che segue. Il fatto che la forza sia 0 nella configurazione di partenza vuol dire che il lavoro fatto per un spostamento $\varepsilon$ e' un ordine di infinitesimo piu' piccolo di $O(\varepsilon)$ . Se ci muoviamo da $\vec r$ a $\vec r_2$ e la forza media in tal intervallo e' $\vec F$ , il lavoro fatto e' $(\vec r_2 - \vec r) \cdot \vec F$ . Se $\vec F$ e' zero nel punto $\vec r$ , e $\vec r_2$ e' vicino a $\vec r$ , la forza in $\vec r_2$ sara' $\vec F_2 \approx (\vec \nabla \vec F) \cdot (\vec r_2 - \vec r)$ e, se $\vec \nabla \vec F$ non e' infinito, allora questo sara' infinitesimo. Quindi il lavoro $(\vec r_2 - \vec r) \cdot \vec F$ sara' un infinitesimo del secondo ordine. Qua ho scritto le cose in modo piu' complicato del necessario per restare in notazione vettoriale, ma se le immagini in una dimensione sola e pensi a $L = F \times (x_2 - x)$ e $F_2 \approx \frac{\text{d}F}{\text{d}x} \times (x_2 - x)$ si capisce piu' facilmente che se $x_2 - x \rightarrow 0$ , $L \rightarrow 0$ con la velocita' di $(x - x_2)^2$ purche' $\frac{\text{d}F}{\text{d}x}$ non sia infinita.

Non uso versori stavolta ma solo vettori, ma alla fine i concetti non cambiano. La forza che $i$ subisce per la presenza di $j$ prima dello spostamento era:
$\displaystyle \vec F_{ij} = k q_i q_j \frac{\vec r_i - \vec r_j}{|\vec r_i - \vec r_j|^3}$
Dopo lo spostamento:
$\displaystyle \vec F_{ij_2} = k q_i q_j \frac{\vec r_i_2 - \vec r_j_2}{|\vec r_i_2 - \vec r_j_2|^3}$
Sostituendo le espressioni per $\vec r_i_2$ e $\vec r_j_2$ :
$\displaystyle \vec F_{ij_2} = k q_i q_j \frac{(1 + \varepsilon)\vec r_i - (1 + \varepsilon)\vec r_j}{|(1 + \varepsilon)\vec r_i - (1 + \varepsilon)\vec r_j|^3} = k q_i q_j \frac{(1+\varepsilon) (\vec r_i - \vec r_j)}{(1 + \varepsilon)^3|\vec r_i_2 - \vec r_j_2|^3} = \frac{\vec F_{ij}}{(1 + \varepsilon)^2}$
Dove ho usato proprieta' standard dei vettori - il fatto che si possa raccogliere uno scalare cosi' che $a \vec u + a \vec v = a (\vec u + \vec v)$ ed il fatto che $|a \vec v| = a |\vec v|$ se $a > 0$ .

Questo dimostra il risultato sopra evitando di dare per scontato che i versori rimangono uguali.

Messaggio da **Pigkappa** » 17 apr 2023, 23:57

Comunque il problema non l'ho inventato io, l'ho preso da un libro intitolato Electricity and Magnetism, autori Purcell e Morin, e' il problema 1.6, punto d. La loro soluzione e' piu' sintetica di tutto quel che ho scritto ma ti incollo qua il loro testo e, sotto la riga rossa, la soluzione del punto d nel caso ti sembrasse piu' chiaro

Immagine

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 18 apr 2023, 17:33

Ti ringrazio davvero per questa dissertazione. A prescindere dalla distanza culturale che ci separa, sono partito molto svantaggiato non conoscendo l'origine del testo e la spiegazione degli autori. Insomma la sostanza di tutto il problema rappresentato dal quesito b) è la seguente "cosa vuol dire portare le cariche all'infinito?" Io pensavo che dovesse aumentare ciascun $\vec r_i$ a partire dal suo valore iniziale $\vec r_{i_0}$ e alla lettera è un'interpretazione che ci può stare. E invece no. Siccome nell'espressione dell'energia potenziale (e della forza) compare a denominatore $r_{ij}$ , è la distanza MUTUA fra le cariche i e j che deve aumentare indefinitamente! Sottile è il Signore, ha detto qualcuno. Il sistema deve dilatarsi. Lo fa anche il triangolo equilatero che avevo usato io...E' per questo che sono personalmente attratto dalla scienza per antonomasia, quella fisica. Quando uno immagina di aver capito tutto deve cominciare a preoccuparsi....

Ancora grazie.
PS. Nonostante che uno soltanto abbia dimostrato di seguire la soluzione del problema, spero che fra le quasi mille visite siano molti coloro che hanno fatto il Tolcs sns o che stiano per (ri)farlo

A questo proposito non sarebbe meglio che fossi tu a tenere il testimone? Io scopiazzo il testo da qualche parte e nessuno dei miei pari si cimenta. Alla fine dai la soluzione tu che non ci impari certo qualcosa..

Messaggio da **Pigkappa** » 18 apr 2023, 18:08

Ok tengo il testimone e il prossimo che posto sarà un po' più umano

Higgs · Messaggio da **Higgs** » 19 apr 2023, 11:08

Grazie anche di questo

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