Ma sono tutte e tre positive? Se sì, non è U=0 e non è F=0...
Comunque è molto più facile stare in equilibrio su una retta che su un piano o nello spazio (perché ogni dimensione che togli, riduce il numero di equazioni)
301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale
Re: 301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: 301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale
No non sono tutte positive. Quella centrale è -(1/2) C correggo subito...
Re: 301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale
Ok, indubbiamente questo e' in equilibrio e ha energia zero
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Re: 301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale
Nel tuo triangolo equilatero di lato l e cariche 2C, 2C,-1C è possibile mostrare che 
e 
per i=1,2,3. Sarebbe il controesempio che permette di concludere che non è vero che se 
il sistema è in equilibrio. Infatti ricordando che 
abbiamo -(2k/l); U_{2j} = -(2k/l))
ovvero mentre abbiamo= -3(k/l^2)\vec i+(2k/l^2)\vec j ; \vec F_2(\vec r_2) = 0(\vec i/l^2)-(2k/l^2)\vec j ; \vec F_3(\vec r_3)= (3k/l^2)\vec i + (k/l^2)\vec j)
Re: 301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale
Sì, giusto. Adesso il viceversa - se le forze sono zero, allora U è zero?
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Re: 301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale
Riprendendo le solite notazioni abbiamo
 + U(\vec r_2)+.......+U(\vec r_n))
e =-\frac{\partial U_e}{\partial x_i}\vec i-\frac{\partial U_e}{\partial y_i}\vec j-\frac{\partial U_e}{\partial z_i}\vec k)
tutte calcolate in 
Ora secondo la seconda parte del testo si suppone che=-\frac{\partial U_e}{\partial x_i}\vec i-\frac{\partial U_e}{\partial y_i}\vec j-\frac{\partial U_e}{\partial z_i}\vec k =0 )
per ogni i e si domanda se . Secondo me la risposta è ancora negativa. Il sistema è in equilibrio ma se noi spostiamo verso l'infinito la carica 
effettuando un lavoro esterno l'equilibrio cessa e le altre cariche reagiscono. Pertanto il lavoro ha un certo valore che è legato ad con i=1,2,...,n. 
è la somma di questi lavori, rappresenta il valore totale dell'energia elettrostatica e non è affatto nulla. Supponiamo ad esempio che nel caso gravitazionale una massa m sia in equilibrio instabile sul vertice di una parabola alla superficie terrestre, raggio R della Terra. La sua energia potenziale esiste diversa da zero e corrisponde al lavoro non nullo che dovremmo compiere dall'esterno per allontanarla indefinitamente dal pianeta. Quindi, vista la relazione fra ed )
l'energia potenziale elettrostatica del sistema è fornita dal lavoro totale che dovremmo compiere dall'esterno per allontanare le cariche, all'inizio in equilibrio, indefinitamente una dall'altra. Questo lavoro totale non è affatto nullo!
Ora secondo la seconda parte del testo si suppone che
Re: 301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale
Il parallelo con il caso gravitazionale non ci aiuta piu' di tanto, perche' la massa e' sempre positiva, quindi l'energia potenziale gravitazionale 
e' sempre negativa.
Non credo neanche sia possibile essere in equilibrio nel caso gravitazionale. Metti l'origine da qualche parte, ed individua la massa piu' lontana dall'origine. Questa vede tutte le altre masse piu' o meno nella stessa direzione, quindi la attirano tutte verso l'origine, quindi non puo' essere in equilibrio.
Non ho capito cosa intendi con il tuo esempio della parabola. Se la parabola e' una guida di materiale a forma parabolica su cui sta in equilibrio la massa, stai violando una delle ipotesi, ovvero che non ci siano altre forze in gioco. Nel problema che ho posto l'unica forza e' quella di Coulomb.
Riesci a costruire un esempio con un numero finito di cariche
nello spazio disposte in modo da essere in equilibrio, ma avere energia potenziale elettrostatica totale 
?
Non credo neanche sia possibile essere in equilibrio nel caso gravitazionale. Metti l'origine da qualche parte, ed individua la massa piu' lontana dall'origine. Questa vede tutte le altre masse piu' o meno nella stessa direzione, quindi la attirano tutte verso l'origine, quindi non puo' essere in equilibrio.
Non ho capito cosa intendi con il tuo esempio della parabola. Se la parabola e' una guida di materiale a forma parabolica su cui sta in equilibrio la massa, stai violando una delle ipotesi, ovvero che non ci siano altre forze in gioco. Nel problema che ho posto l'unica forza e' quella di Coulomb.
Riesci a costruire un esempio con un numero finito di cariche
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Re: 301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale
Credo di aver risolto il problema che mi hai posto cioè trovare un sistema in equilibrio  =\vec 0)
per ogni i con +.....+U(\vec r_n ) \neq 0 )
. Si tratta di quattro cariche positive che io per semplificare i conti ho messo di 1C ciascuna disposte ai vertici di un quadrato di lato l e di una carica negativa che deve essere di ])
C disposta nel centro del medesimo quadrato. Posterò il procedimento con calma vista la mia perizia nell'uso del Latex 
Re: 301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale
Come anticipato siano le quattro cariche di 1C ai vertici di un quadrato di lato l e nel centro, fatti i conti al fine dell'equilibrio, deve essere posta la quinta carica negativa di ])
C. Nello stesso centro è fissata l'origine di un sistema di assi xy con versori 
. Le quattro cariche sono in senso antiorario la 1 con )
, la seconda)
, la terza)
,la quarta )
e la quinta nell'origine )
. Per semplicità vista l'assoluta simmetria farò il calcolo solo per 1 che ha componente secondo 
pari a )
perchè respinta dalla carica 4 e 
componente orizzontale della repulsione della carica 3. Infine c'è la componente orizzontale dell'attrazione della carica centrale diretta come cioè risulta in totale-k\frac{\sqrt2}{4l^2}+k[(\frac {\sqrt 2}{2}+(1/4)](\frac{\sqrt 2}{l^2})]=0)
. Per quanto riguarda 
è facile vedere che è nullo perchè opposto a 
. In conclusione il sistema delle 5 cariche è equilibrato.
Esaminiamo ora l'energia elettrostatica
dove i pedici ij rappresentano il primo la carica e il secondo l'altra con cui è combinata dovendo essere i<j: pertanto i primi 4 sono valutati in 
seguiti dalle tre valutazioni in 
...fino alla valutazione in 
.
E' facile ma noioso vedere che risulta+(k/l\sqrt 2)-[(\sqrt 2/2)+(1/4)](2k/l\sqrt 2)]+(k/l)+(k/l\sqrt 2)-[(\sqrt 2/2)+(1/4)](2k/l\sqrt 2)]+ (k/l)-[(\sqrt 2/2)+(1/4)](2k/l\sqrt 2)-[(\sqrt 2/2)+(1/4)](2/l\sqrt 2)= \frac{4k}{l}+\frac{k \sqrt 2}{l}-4k(\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{1}{4})\frac{2\sqrt 2}{l}=(-\frac{4k}{l}-\frac{k\sqrt 2}{l}) J\neq 0)
.
La conclusione sembra allora che non è vero che se il sistema è equilibrato l'energia potenziale elettrostaticaè uguale a 0. purtroppo ho avuto un nuovo guasto spedisco da smartphone
Esaminiamo ora l'energia elettrostatica
E' facile ma noioso vedere che risulta
La conclusione sembra allora che non è vero che se il sistema è equilibrato l'energia potenziale elettrostatica
purtroppo ho avuto un nuovo guasto spedisco da smartphoneRe: 301. Cariche in equilibrio ed energia potenziale
A me l'energia potenziale di quel sistema viene 0. Se vuoi riguardo i tuoi termini uno per uno ma per ora non l'ho fatto. Qua sotto c'è come l'ho impostato io.
Avevo letto solo il primo dei tuoi messaggi quindi ho impostato in modo leggermente diverso. Ho messo la carica negativa in)
e le cariche positive in )
, )
, )
, )
.
Il conto l'ho fatto fare a Mathematica:
A questo punto aggiungo che io so che la tesi è vera (
), quindi sarà difficile trovare un controesempio 
Hint: c'è una dimostrazione leggermente truccosa, ma non troppo, a cui si può arrivare pensando di manipolare un sistema concreto, ad esempio il sistema di cariche descritto da te. Credo ci sia anche una dimostrazione puramente algebrica che comincia come avevi impostato tu nel primo messaggio, scrivendo^2}\hat r_{ij} = 0)
e cercando di dimostrare che 
, ma per ora non l'ho trovata.
Avevo letto solo il primo dei tuoi messaggi quindi ho impostato in modo leggermente diverso. Ho messo la carica negativa in
Il conto l'ho fatto fare a Mathematica:
A questo punto aggiungo che io so che la tesi è vera (
Hint: c'è una dimostrazione leggermente truccosa, ma non troppo, a cui si può arrivare pensando di manipolare un sistema concreto, ad esempio il sistema di cariche descritto da te. Credo ci sia anche una dimostrazione puramente algebrica che comincia come avevi impostato tu nel primo messaggio, scrivendo
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
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