Una particella di massa m si muove su una circonferenza di raggio R sotto l'azione di una forza centrale attrattiva (Yukawa). Determinare:
1) le condizioni su a affinché il moto circolare sia stabile
2) la frequenza delle piccole oscillazioni radiali riguardo a questo moto circolare
La forza di Yukawa
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Re: La forza di Yukawa
Sia e il potenziale che dà origine a tale campo di forze, tale che . Sfruttiamo il fatto che il moto di un corpo in un campo di forze centrale può essere ricondotto a un moto unidimensionale sotto l'azione di un potenziale efficace , dove è il modulo del momento angolare del corpo rispetto all'origine (si conserva, visto che sia la forza sia l'impulso sono radiali).
Se l'orbita è circolare e , si dovrà avere .
L'orbita è stabile se . Calcoliamolo:
Grazie alla condizione precedente, possiamo scriverlo come
Quindi le orbite con sono stabili.
Quando la derivata seconda si annulla, mentre la derivata terza è negativa, quindi tale orbita è instabile. Perciò le orbite stabili sono solo quelle trovate in precedenza. In tal caso, la frequenza delle piccole oscillazioni vale
Per la forza di Yukawa diventa quella newtoniana, e ritroviamo il fatto che tutte le orbite circolari sono stabili con frequenza di oscillazione pari a quella orbitale.
Se l'orbita è circolare e , si dovrà avere .
L'orbita è stabile se . Calcoliamolo:
Grazie alla condizione precedente, possiamo scriverlo come
Quindi le orbite con sono stabili.
Quando la derivata seconda si annulla, mentre la derivata terza è negativa, quindi tale orbita è instabile. Perciò le orbite stabili sono solo quelle trovate in precedenza. In tal caso, la frequenza delle piccole oscillazioni vale
Per la forza di Yukawa diventa quella newtoniana, e ritroviamo il fatto che tutte le orbite circolari sono stabili con frequenza di oscillazione pari a quella orbitale.
Re: La forza di Yukawa
E' giusto e corretto il punto 1 sulla condizione di stabilità. Per quanto riguarda il punto 2 invece ti consiglierei di esporre il tuo procedimento per vedere se il tuo risultato, che attualmente è diverso da quello ufficiale (Cahn), è davvero conclusivo.
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Re: La forza di Yukawa
Il rendimento di un ciclo di Carnot è noto per essere il massimo possibile per qualsiasi ciclo termodinamico che opera tra due temperature. Pertanto, è sempre maggiore rispetto al rendimento di qualsiasi altro ciclo tra le stesse temperature.
Nel tuo caso, devi calcolare
per un ciclo di Carnot tra le stesse temperature, quindi confrontare i due risultati. Se , questo confermerà la tua affermazione.
Ricorda che per eseguire i calcoli dovrai inserire i valori specifici delle temperature, della pressione, del volume, ecc. Nella formula del rendimento e dell'equazione di stato dei gas perfetti.
Nel tuo caso, devi calcolare
per un ciclo di Carnot tra le stesse temperature, quindi confrontare i due risultati. Se , questo confermerà la tua affermazione.
Ricorda che per eseguire i calcoli dovrai inserire i valori specifici delle temperature, della pressione, del volume, ecc. Nella formula del rendimento e dell'equazione di stato dei gas perfetti.
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