Diffusione
Inviato: 11 ago 2022, 0:06
In questo problema consideriamo un gas sia dal punto di vista macroscopico che microscopico.
Definiamo la lunghezza , chiamata libero cammino medio, con la seguente proprieta': quando una particella attraversa un intervallo di spazio , la sua probabilita' di interagire con un'altra particella e quindi essere assorbita o deviata dal suo cammino e' .
1. Mostra che se una particella attraversa un intervallo di spazio ha una probabilita' di interagire con altre particelle.
Si indichi con la posizione nello spazio. Sia la densita' di energia del gas. Sia inoltre la velocita' media delle particelle che compongono il gas. Indico con il gradiente di . (Se non sai cosa sia il gradiente, leggi in fondo)
Vogliamo studiare la diffusione di energia nel gas. L'energia si diffondera' dalle zone di alta energia a quelle di bassa energia. Il flusso di energia sara' tipicamente nella forma dove e' detto coefficiente di diffusione.
2. Si trovi un argomento fisico per giustificare questa relazione approssimata (che e' bene ricordarsi per sempre): .
3. Mostra che .
4. Che condizioni ragionevoli hai dovuto suppore fossero vere per i punti 2 e 3?
Se non sai cosa sia il gradiente, ecco una spiegazione: il gradiente e' il vettore composto dalla derivata di rispetto ad ogni direzione dello spazio, ovvero dove il simbolo si usa per le derivate quando ci sono piu' direzioni spaziali possibili. Se fai attenzione, puoi ridurti facilmente al caso unidimensionale per questo problema.
Definiamo la lunghezza , chiamata libero cammino medio, con la seguente proprieta': quando una particella attraversa un intervallo di spazio , la sua probabilita' di interagire con un'altra particella e quindi essere assorbita o deviata dal suo cammino e' .
1. Mostra che se una particella attraversa un intervallo di spazio ha una probabilita' di interagire con altre particelle.
Si indichi con la posizione nello spazio. Sia la densita' di energia del gas. Sia inoltre la velocita' media delle particelle che compongono il gas. Indico con il gradiente di . (Se non sai cosa sia il gradiente, leggi in fondo)
Vogliamo studiare la diffusione di energia nel gas. L'energia si diffondera' dalle zone di alta energia a quelle di bassa energia. Il flusso di energia sara' tipicamente nella forma dove e' detto coefficiente di diffusione.
2. Si trovi un argomento fisico per giustificare questa relazione approssimata (che e' bene ricordarsi per sempre): .
3. Mostra che .
4. Che condizioni ragionevoli hai dovuto suppore fossero vere per i punti 2 e 3?
Se non sai cosa sia il gradiente, ecco una spiegazione: il gradiente e' il vettore composto dalla derivata di rispetto ad ogni direzione dello spazio, ovvero dove il simbolo si usa per le derivate quando ci sono piu' direzioni spaziali possibili. Se fai attenzione, puoi ridurti facilmente al caso unidimensionale per questo problema.