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296 - Trappola magnetica
Inviato: 26 mar 2022, 22:53
da DeoGratias
I fili infiniti 1, 2, 3, 4 sono percorsi da una corrente
nei versi indicati in figura e sono perpendicolari al piano
. Le loro intersezioni con esso formano un quadrato di lato
, centro nell'origine
e lati paralleli agli assi
. Il sistema è posto in un campo magnetico uniforme
1) Trovare il campo magnetico generato dalle correnti nei fili nel punto
L'energia potenziale associata a un atomo posto nella trappola magnetica è direttamente proporzionale al campo magnetico agente su di esso, ovvero
, dove
è una costante positiva.
2) Qual è l'energia cinetica minima che deve avere un atomo per sfuggire alla trappola, partendo dall'origine? Dove deve essere diretto?
Re: 296 - Trappola magnetica
Inviato: 29 mar 2022, 11:33
da roncu
Una domanda preliminare: considerando una spira amperiana circolare centrata nell'origine con raggio minore di
il campo B generato dai fili mi verrebbe nullo. E mi pare succederebbe con la stessa spira di raggio maggiore di
. Ma è possibile? Cosa sbaglio clamorosamente?
Re: 296 - Trappola magnetica
Inviato: 29 mar 2022, 11:46
da DeoGratias
roncu ha scritto: ↑29 mar 2022, 11:33
Una domanda preliminare: considerando una spira amperiana circolare centrata nell'origine con raggio minore di
il campo B generato dai fili mi verrebbe nullo. E mi pare succederebbe con la stessa spira di raggio maggiore di
. Ma è possibile? Cosa sbaglio clamorosamente?
Nel tuo caso la circuitazione
è giustamente nulla, ma non puoi concludere che si abbia sempre
poiché il valore di
varia lungo la curva, sia perché cambia l'angolo tra i due vettori sia perché
non è costante.
Hint: principio di sovrapposizione dei campi magnetici
Re: 296 - Trappola magnetica
Inviato: 3 apr 2022, 10:44
da roncu
Volevo sottoporti questo procedimento applicando il principio di sovrapposizione dei campi prodotti dai quattro fili. Sia
il punto del piano nel quale si vuol trovare il campo
. Considero dapprima la sola presenza del filo 1 uscente dal piano e l'amperiana circolare centrata in 1 di raggio
. Per il teorema di Ampere il
da essa generato ha modulo
e direzione perpendicolare al raggio
, verso antiorario positivo. Trovo il coefficiente angolare della retta su cui giace il raggio in funzione di
e quindi quello, opposto dell'inverso, della retta su cui giace
. Dalla tangente ricavo seno e coseno e quindi le componenti
. Con la stessa procedura trovo le componenti
immaginando sempre la presenza di uno solo di essi. In questo modo avrei per sovrapposizione
E' ovvio che se il procedimento è sbagliato è inutile che posti questo conto bovino.
Re: 296 - Trappola magnetica
Inviato: 3 apr 2022, 10:49
da DeoGratias
Sì, è corretto
(e in genere è anche l'unico procedimento applicabile in questi casi)
Re: 296 - Trappola magnetica
Inviato: 6 apr 2022, 11:46
da roncu
1. Dopo il calcolo bovino con il procedimento che mi hai dato per corretto sarei arrivato alle componenti x ed y del campo
cioè
e quindi mi risulterebbe nel punto
come risposta
Naturalmente è difficile che non abbia sbagliato almeno qualche segno nonostante interminabili controlli ed è possibile che sia ulteriormente semplificabile
Ovviamente il campo è nullo nell'origine, manca la componente x sull'asse y e la componente y sull'asse x, conclusioni che mi sembrano sensate
Non vedo invece perchè si chiama trappola e questo per ora è il mio grosso limite
Perchè l'energia potenziale è massima nel quadrato e poi tende a quella determinata solo da
Penso che nell'origine la sua energia sia
mentre se esce dalla trappola fermandosi appena fuori di essa la sua energia è
Pertanto
dovrebbe essere equivalente alla
lungo l'asse x con
che secondo me è la minima come lo sarebbe anche lungo l'asse y.
Re: 296 - Trappola magnetica
Inviato: 7 apr 2022, 23:38
da DeoGratias
roncu ha scritto: ↑6 apr 2022, 11:46
1. Dopo il calcolo bovino con il procedimento che mi hai dato per corretto sarei arrivato alle componenti x ed y del campo
cioè
e quindi mi risulterebbe nel punto
come risposta
Il risultato che hai ottenuto è vicino a quello corretto, ma manca ancora qualcosa (ricordati di considerare tutti i fili); il conto alla fine non è dei peggiori, tutti i termini sono simili a quelli che hai già trovato
roncu ha scritto: ↑6 apr 2022, 11:46
Non vedo invece perchè si chiama trappola e questo per ora è il mio grosso limite
Perchè l'energia potenziale è massima nel quadrato e poi tende a quella determinata solo da
Penso che nell'origine la sua energia sia
mentre se esce dalla trappola fermandosi appena fuori di essa la sua energia è
Pertanto
dovrebbe essere equivalente alla
lungo l'asse x con
che secondo me è la minima come lo sarebbe anche lungo l'asse y.
L'energia nel quadrato non è costante: il campo dei fili è nullo al centro e all'infinito ma non nel resto dello spazio, quindi inizialmente la forza esercitata sulla particella non può che essere repulsiva; non ho ben chiaro quale valore di
tu abbia trovato, ma ti consiglio di considerare un altro punto in cui calcolare l'energia "finale", invece che all'infinito.
Re: 296 - Trappola magnetica
Inviato: 8 apr 2022, 11:04
da roncu
Sono piuttosto scoraggiato all'idea di rifare i conti. Ho trovato per ogni filo il coeff. angolare della congiungente il punto con la traccia del filo e poi ho trovato il coeff. angolare della retta che contiene il campo (opposto dell'inverso del precedente). Ho trovato coseno e seno da questa tangente per arrivare alle componenti lungo x e lungo y. Dove sbaglio? Lo rifarò comunque se mi confermi che il procedimento sarebbe giusto.
Quanto a
: ho scritto che la direzione da prendere è quella dell'asse x (o y) con
perchè nel modulo totale di B manca
e la repulsione da vincere sull'asse x sarebbe minima. Nell'origine l'energia dell'atomo è
. Appena fuori dalla trappola (non all'infinito!) l'atomo si ferma, avendo vinto la repulsione, a energia
perchè
non c'è più. Ho fatto per chiarire ma forse questo ragionamento è sballato. Mentre rifaccio i conti ti prego di confermare che il primo procedimento sarebbe giusto ed il secondo sbagliato.
Re: 296 - Trappola magnetica
Inviato: 9 apr 2022, 23:24
da DeoGratias
Nel primo il procedimento mi pare giusto, ma c'è qualche segno sbagliato e non è dimensionalmente corretto.
Per quanto riguarda il secondo, il campo generato dai fili non svanisce fuori dal quadrato, ma continua ad essere determinato dall'equazione trovata al punto 1 (diventando nullo soltanto all'infinito). Inoltre dal tuo ragionamento si otterrebbe che l'atomo riesce a uscire con un'energia cinetica arbitrariamente piccola, ma in tal caso non sarebbe una trappola
Pensa al punto da cui deve passare in cui l'energia potenziale è massima e prova a continuare da lì
Re: 296 - Trappola magnetica
Inviato: 10 apr 2022, 11:34
da roncu