Mettiamoci in un sistema di coordinate cilindriche, dove
punta dalla base da cui osserviamo (quella del testo) verso l'altra,
è il versore radiale e
è il versore tangenziale.
Innanzitutto troviamo il campo elettrico indotto: vista la simmetria cilindrica del sistema, entrambe le componenti del campo dipenderanno solo da
:
Per il Teorema di Gauss, si avrà
, dove
è la superficie di un cilindro con asse di simmetria coincidente con quello del solenoide e
è la sua area laterale; si ha quindi
.
Per la Legge di Faraday, considerando una circonferenza
di raggio
il cui asse centrale coincide con l'asse di simmetria del solenoide, si ha
, da cui
.
Visto che
è uniforme all'interno del solenoide e
, si avrà
Le forze tangenziali agenti sul cilindro saranno quella elettrica dovuta al campo indotto e quella d'attrito,
.
Per trovare la forza elettrica, scriviamo
, dove
è il vettore radiale con estremo sull'asse del cilindro. Si avrà quindi
Visto che la carica è uniformente distribuita,
(per ogni
in
anche
è in
, quindi, grazie al fatto che
, si annullano a coppie).
Segue che
è data da
.
Il momento torcente della forza elettrica rispetto al centro del cilindro è
Per gli stessi motivi di prima, si ha
. Per quanto riguarda l'altro membro, si avrà
.
La condizione di non slittamento del cilindro è
. Le equazioni cardinali diventano
Si ha infine
, dove
positiva in senso orario, negativa in senso antiorario.
Se
si muove in senso orario, se
rimane fermo, se
si muove in senso antiorario.