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Bene! Se vuoi nel frattempo puoi postare il risultato che hai ottenuto, così posso dirti se è corretto o meno

Essendo al solito la conservazione dell'energia implica che
essendo r(t) la distanza istantanea di m dal centro della nube durante la sua traiettoria ellittica. Con qualche passaggio si ottiene . Pertanto è legato a quello di . Dall'equazione dell'ellisse e dalla traiettoria si ricava che se m(x,y) è la posizione della particella e l'asse x contiene il semiasse maggiore a allora . D'altra parte è noto che se nell'equazione dell'ellisse si pone X=x/a e Y=y/b si ottiene il cerchio goniometrico con con angolo con l'asse x che non ha nulla a che vedere con quello precedente. Da cui . Per cui che ponendo fornisce . Ora si può scrivere
dove e sono costanti. In conclusione . Ma per quanto visto e quindi. Concludendo
. Sostituendo i valori di A,B e b
J
Mi sono illuso che andasse bene perchè mi risultava utile il tuo integralino. Comunque controllando per avrei come deve essere

Non ho tempo di studiarmi il problema adesso ma la staffetta è bloccata da un po'... Se DeoGratias non risponde entro domani sera la staffetta può passare direttamente a roncu

Mi scuso con @roncu e con gli altri per l'attesa, nell'ultima settimana ho partecipato allo Stage in SNS e non ho avuto abbastanza tempo per ricontrollare tutto
Il risultato è vicino a quello corretto, ma c'è ancora qualche errore:

roncu ha scritto: ↑6 feb 2022, 11:39 Dall'equazione dell'ellisse e dalla traiettoria si ricava che se m(x,y) è la posizione della particella e l'asse x contiene il semiasse maggiore a allora . D'altra parte è noto che se nell'equazione dell'ellisse si pone X=x/a e Y=y/b si ottiene il cerchio goniometrico con con angolo con l'asse x che non ha nulla a che vedere con quello precedente. Da cui . Per cui che ponendo fornisce .

Questo risultato è sbagliato: se il tuo ellisse è centrato nell'origine e è l'angolo che la retta passante per e forma con l'asse x, allora dovresti avere per ogni punto dell'ellisse, cosa che invece con la tua formula non accade, visto che stai facendo una dilatazione del piano. Inoltre l'angolo che hai scelto non ti è granché d'aiuto nel resto dei calcoli, visto che non rappresenta una quantità fisica che puoi calcolare facilmente in funzione di altre già note. Ti consiglio di provare a porre l'origine nel fuoco e a trovare l'equazione dell'ellisse in funzione dell'angolo tra e l'asse maggiore, visto che è la forma che ti può tornare più utile

roncu ha scritto: ↑6 feb 2022, 11:39 Ma per quanto visto e quindi

Qui sbagli affermando che , visto che non conosci la dipendenza di da . La forma corretta sarebbe infatti . Nel caso dell'angolo che hai scelto sei pressoché costretto a fermarti qui, tuttavia ce n'è un altro che ti consentirebbe di proseguire senza troppi problemi

Ponendo l'origine nel fuoco e assumendo come angolo quello formato dall'asse maggiore con r(t), e otterrei come equazione dell'ellisse . E' giusta o sbagliata? Perchè poi sarebbe Se fosse giusta dovrei ora applicare il principio di conservazione dell'energia e calcolare Ma non trovo il tuo integralino...

L'equazione che hai trovato è sbagliata; in che modo ci sei arrivato?

Ci sono arrivato applicando la definizione di ellisse come luogo dei punti la somma delle cui distanze dai fuochi risulta 2a l'asse maggiore. Allora l'ellisse è quella solita con i suoi a,b, c e, ponendo l'origine nel fuoco più lontano come tu suggerisci considero un punto dell'ellisse di coordinate x= r cos,y =r sen che dista r da questa origine; r forma l'angolo con l'asse maggiore sull'asse x. La distanza fra i due fuochi è 2c. Per cui, per definizione, sarà da cui(qui ho fatto un errore di calcolo nel post). Riprendendo otterrei . Ma e si elidono. Per cui risulta o se si preferisce Scusa i dettagli algebrici ma mi sono intestardito come capita.. Compio qualche errore concettuale senza rendermene conto

Adesso è corretta
In generale ogni conica è descritta in forma polare come , dove è un parametro che descrive le dimensioni della conica e è l'eccentricità (nel tuo caso c'è un segno invertito, ma semplicemente la tua conica è specchiata rispetto all'asse y, senza alterare il risultato finale). Continua così

Ma posso trovare i valori medi riferendomi all'applicazione della conservazione dell'energia con e ? O devono essere valor medi temporali e non si può eludere ? Perchè il è legato fra l'altro al valor medio dell'inverso di r(t)

è definita come la media temporale su un periodo di , quindi l'unico modo di calcolarla consiste nell'utilizzare l'integrale che hai impostato all'inizio. La quantità compare in ogni caso durante il calcolo, ma ricordati che per questo tipo di moto puoi esprimerla in funzione solo di , ottenendo così un integrale risolubile.