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Consideriamo una nube di gas, fatta da particelle finissime, che all'istante $t=0$ è sferica di raggio $R$ e ha una densità $\rho(r, t=0)$ . Ogni particella si muove, all'istante iniziale, con una velocita $v(r; t = 0)$ tangenziale rispetto alla sfera di raggio $r$ , orientata in modo casuale sul piano tangente alla sfera in quel punto. Si trascurino le collisioni tra le particelle della nube, che quindi interagiscono solo tramite forze gravitazionali.

1. Determinare $\rho(r; t = 0)$ affinché la configurazione $v(r; t = 0) = v_0$ sia stabile nel tempo.
2. Determinare $v(r; t = 0)$ affinché la configurazione $\rho(r; t = 0) = \rho_0$ sia stabile nel tempo. Sia $v_1 (r)$ la risposta a questa domanda.

Supponiamo d'ora in poi che $\rho(r; t = 0) = \rho_0$ e $v(r; t = 0) = \alpha v_1 (r)$ , con $0 < \alpha < 1$ . Assumiamo inoltre che, per ogni coppia di particelle $(i; j)$ , se $r_i (t = 0) > r_j (t = 0)$ , allora $r_i(t) > r_j(t)$ per ogni $t > 0$ (no shell-crossing).

3. Trovare la posizione di massimo avvicinamento al centro della nube di ogni particella, in funzione della sua posizione iniziale $r_0$ .
4. Dimostrare che il moto globale della nube è periodico e trovarne il periodo.
5. Vericare che l'ipotesi di no shell-crossing è consistente.
6. Calcolare l'energia cinetica media di una particella di massa $m$ in funzione di $r_0$ .

Siccome potrei aver equivocato tutto il testo ti scrivo le mie risposte tranne che per l'ultimo punto a cui sto ancora pensando. Se sarà il caso posterò poi i procedimenti.
1) $\rho(r,0)=\frac{3 v_0^2}{4G\pi r^2}$
2) $v_1(r)= 2r.\sqrt{\frac{\pi.G \rho}{3}}$
3) $r=\alpha^2.r_0$
4) $T=\frac{2\pi}{\sqrt{1-\alpha^2}}$
5) si, perchè r dipende da $r_0$ e quindi si mantengono con quelle ipotesi le posizioni senza attraversamento delle shell

Al punto 1 c'è un'imprecisione, prova a ricontrollare i calcoli.
Il punto 2 è corretto.
I punti 3 e 4 sono sbagliati (il 4 non torna dimensionalmente): prova a pensare alla forma che devono avere le traiettorie (che è abbastanza nota).
Per il punto 5, quello che hai detto non basta: è vero che $r$ dipende da $r_0$ , ma devi anche spiegare come mai non si ha il superamento di uno strato da parte di un altro in un punto a distanza intermedia dal centro.
Per il punto 6 potrebbe far comodo un teorema particolare

Scusami ho controllato e ricontrollato i conti relativi all'imprecisione della mia risposta 1. Non ne vengo a capo perchè il risultato mi viene sempre lo stesso...

Dal tuo risultato sembra che tu abbia considerato $\rho$ costante, mentre in realtà dipende da $r$ . Considera questo, e ricordati di un importante teorema

Scusa provo a pensarci ancora ma il mio risultato è $\rho(r,0)= \frac{3 v_0^2}{4\pi G r^2}$ quindi dipende da r tanto che non mi tornava (torna) che per r tendente a 0 $\rho$ diverge sciaguratamente...

Prova a postare il tuo procedimento (magari anche del punto 2, visto che il risultato è corretto), così posso capire dov'è l'errore

1. Ho pensato che la forza centripeta dovesse essere fornita dall'attrazione gravitazionale per la stabilità ovvero che, se m è la massa della particella a un certo r, risultasse $\frac{m v_0^2}{r}= G\frac{\rho(r).(4/3)\pi r^3.m}{r^2}$ da cui
$\rho(r)= \frac{3 v_0^2}{G 4\pi r^2}$ che diverge per r tendente a 0...
Ti comunico anche un altro risultato sulla base della costanza di $v_0^2$ . La sua derivata rispetto ad r è nulla come quella di $r^2.\rho(r)$ . Avrei ottenuto allora $\rho(r)= (r/R)^2.\rho(R)$

2. Analogamente $\frac {m v^2(r)}{r} = G\frac{\rho_0 (4/3)\pi r^3 .m}{r^2}$ da cui $v^2(r)=(4/3)\pi G\rho_0.r^2$
e pertanto $v_1(r)= 2r\sqrt{(1/3)(\pi G \rho_0)}$

Prima che tu risponda ti volevo anticipare l'idea a cui lavoro per ora con difficoltà di calcolo. Siccome $v_1(r)$ corrisponde ad una forza centripeta uguale all'attrazione gravitazionale e quindi corrisponde ad una traiettoria circolare di raggio r, se consideriamo la velocità iniziale $\alpha.v_1(r) < v_1(r)$ essa dovrebbe corrispondere ad una traiettoria ellittica interna alla circonferenza in cui il perielio sarebbe la posizione più vicina al centro. Per il no shell crossing per ogni t, se all'inizio l'ellissae parte da una posizione più lontana, questa si mantiene tale per ogni t. Quindi ogni particella della nube e quindi la nube eseguirebbe questo moto periodico con periodo che forse sarebbe determinabile con la terza legge di Keplero. Ma imponendo la conservazione del momento angolare e dell'energia afelio-perielio incontro difficoltà di calcolo. Ti pregherei di dirmi, insieme agli errori dei primi due punti che ho postato, se è una strada senza sbocco...

roncu ha scritto: ↑25 gen 2022, 12:44 1. Ho pensato che la forza centripeta dovesse essere fornita dall'attrazione gravitazionale per la stabilità ovvero che, se m è la massa della particella a un certo r, risultasse $\frac{m v_0^2}{r}= G\frac{\rho(r).(4/3)\pi r^3.m}{r^2}$

L'idea è giusta, ma sbagli nel calcolo della massa che attrae la particella. Il tuo risultato vale solo nel caso in cui $\rho$ è indipendente da $r$ , mentre in questo caso dovrai impostare l'uguaglianza in modo tale da tener conto della variazione di $\rho(r)$ al variare di $r$ .

roncu ha scritto: ↑25 gen 2022, 12:44 $\rho(r)= \frac{3 v_0^2}{G 4\pi r^2}$ che diverge per r tendente a 0...

La dipendenza da $r$ che hai ottenuto è giusta, ma la costante di proporzionalità non lo è. Il fatto che $\rho$ tenda a infinito per $r$ tendente a zero in questo caso non dà problemi, visto che calcolando la massa di una qualsiasi regione di spazio si ottiene comunque un risultato finito. Se invece, ad esempio, $\rho \propto \frac{1}{r^3}$ , quest'ultima proprietà non varrebbe (ti invito a verificarlo tu stesso, visto che può darti una mano per risolvere il quesito)

roncu ha scritto: ↑25 gen 2022, 12:44 Ti comunico anche un altro risultato sulla base della costanza di $v_0^2$ . La sua derivata rispetto ad r è nulla come quella di $r^2.\rho(r)$ . Avrei ottenuto allora $\rho(r)= (r/R)^2.\rho(R)$

E' vero che $r^2 \rho(r)=cost.$ , mentre il fatto che $\rho(r)=\frac{R^2}{r^2} \rho(R)$ non ti aiuta, visto che non conosci $\rho(R)$ . Ti suggerisco di portare avanti la tua prima idea

roncu ha scritto: ↑26 gen 2022, 16:58 Prima che tu risponda ti volevo anticipare l'idea a cui lavoro per ora con difficoltà di calcolo. Siccome $v_1(r)$ corrisponde ad una forza centripeta uguale all'attrazione gravitazionale e quindi corrisponde ad una traiettoria circolare di raggio r, se consideriamo la velocità iniziale $\alpha.v_1(r) < v_1(r)$ essa dovrebbe corrispondere ad una traiettoria ellittica interna alla circonferenza in cui il perielio sarebbe la posizione più vicina al centro. Per il no shell crossing per ogni t, se all'inizio l'ellissae parte da una posizione più lontana, questa si mantiene tale per ogni t. Quindi ogni particella della nube e quindi la nube eseguirebbe questo moto periodico con periodo che forse sarebbe determinabile con la terza legge di Keplero. Ma imponendo la conservazione del momento angolare e dell'energia afelio-perielio incontro difficoltà di calcolo. Ti pregherei di dirmi, insieme agli errori dei primi due punti che ho postato, se è una strada senza sbocco...

Il procedimento che hai descritto è corretto, continua così

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289 - Nube di gas

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