Sia x un asse perpendicolare ai due piani; userò il pedice
per riferirmi alle particelle che si muovono dal piano caldo a quello freddo,
per le altre.
Sia
la velocità media (in modulo) delle molecole alla temperatura
. Usando la distribuzione di Maxwell, si ottiene
.
Nell'urto con uil piano più freddo,
molecole trasmetteranno un calore
e la velocità di ognuna cambierà da
a
(o viceversa nell'urto con il piano più caldo), senza però che vari il rapporto
. Consideriamo tutte le particelle con lo stesso valore di
(quindi con il vettore velocità inclinato dello stesso angolo rispetto all'asse x), e supponiamo di essere in uno stato stazionario, in cui l'intensità del flusso di calore è costante nel tempo: ciò è possibile solo se il numero di particelle che colpiscono il piano freddo in un tempo
è pari al numero di quelle che colpiscono quello caldo. Detta quindi
la densità molare di molecole che si muovono dal caldo al freddo,
quella opposta, con
, si dovrà avere
Di conseguenza, il contributo infinitesimo all'intensità del flusso dato dalle molecole con velocità lungo l'asse x compresa tra
e
è
dove
indica il rapporto tra il numero di tali molecole e quello totale di molecole che si muovono dal piano caldo al piano freddo.
Perciò l'intensità totale sarà data da
dove
è il valore medio della loro velocità di quest'ultime lungo l'asse x.
Visto che, per ognuna di queste molecole, si può scrivere
, con
compresi tra
e
, si avrà
Quindi,