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Due sfere metalliche omogenee e identiche, ciascuna di massa e raggio , sono connesse da una sbarra di lunghezza (con ) e di massa e spessore trascurabili. Il materiale di cui è composta la sbarra è isolante. Inizialmente, la carica elettrica netta presente su ciascuna sfera è nulla. Questo sistema è posto in un campo elettrico uniforme e costante di modulo . Trascurando gravità e attriti, qual è il periodo delle piccole oscillazioni del sistema attorno alla posizione di equilibrio?

Non ho il pc e non posso scrivere troppo in latex; intanto scrivo uno sketch di soluzione.
La posizione di equilibrio stabile si ha quando l'asta e il vettore campo sono paralleli. Le cariche indotte sono superficiali e per calcolarle si può usare gauss in forma integrale, ottenendo che, scegliendo un asse x parallelo all'asta e con origine nel centro della sfera, la carica tra x e x+dx è , visto che devono generare un campo contrario a quello esterno nella sfera. Per calcolare i momenti torcenti, visto che R è molto più piccolo di L possiamo approssimare considerando la carica come concentrata sull'asse della sfera parallelo all'asta che passa per il suo centro, così facendo è più facile calcolare il momento totale, che è pari a , quindi otterrei

DeoGratias ha scritto: ↑22 ago 2021, 16:24 la carica tra x e x+dx è

Non ho capito come tu abbia ricavato questo risultato, però è sbagliato. Ti invito a indagare meglio su come si distribuiscono sulla sfera le cariche indotte a causa del campo esterno.

DeoGratias ha scritto: ↑22 ago 2021, 16:24 Per calcolare i momenti torcenti, visto che R è molto più piccolo di L possiamo approssimare considerando la carica come concentrata sull'asse della sfera parallelo all'asta che passa per il suo centro, così facendo è più facile calcolare il momento totale, che è pari a , quindi otterrei

Questa tua approssimazione non è giustificata e infatti ti conduce a un risultato errato. Il periodo che ottieni è diverso da quello vero e neanche nel giusto ordine di grandezza.

Per trovare le cariche indotte avevo pensato che il campo che generano all'interno della sfera deve essere contrario a quello esterno e la risultante deve essere nulla; avevo applicato il teorema di gauss a un disco di spessore dx con basi perpendicolari al campo e raggio così da trovare la carica interna dq, ma mi accorgo di non aver considerato tutti i contributi al flusso. A questo punto penso che debba essere usato il metodo delle immagini, che ancora non ho studiato, quindi in tal caso non saprei bene come procedere. L'unica altra cosa che mi viene in mente è che il campo risultate nei punti della superficie della sfera deve essere perpendicolare alla superficie stessa, ma non so quanto possa essere utile

Ti do un hint: l'effetto del campo elettrico esterno, ovviamente, è quello di "allontanare" le cariche positive e "avvicinare" le cariche negative. Prova allora a vedere cosa succede se tu consideri una sfera neutra come sovrapposizione di una sfera con una densità di carica uniforme e di un'altra con densità . Se l'effetto di è quello di separare i centri delle due sfere di una piccola distanza (tendente a ) senza però cambiarne la forma, cosa puoi dire?

Seguendo il tuo hint, ho trovato che
1) dove le due sfere si sovrappongono, il campo elettrico è uniforme e diretto nella stessa direzione della congiungente dei centri, e vale
So che il campo elettrico tra le due sfere deve essere pari in modulo a quello esterno, quindi da ciò posso invertire e ricavare la densità volumica di carica in funzione di E e
2)Pongo un sistema di coordinate polari al centro di una delle due sfere, con asse x allineato con E: voglio trovare la carica in una corona di raggio . Dal teorema di Pappo, se è l'area della sezione di questa corona, allora il volume della corona è . Usando il teorema di carnot e espandendo con Taylor, ottengo che . Avendo trovato dV, posso trovare la carica che contiene la corona come . Nel limite con infinitamente piccolo, voglio esprimere dq come , dove dS' è l'area superficiale di una corona circolare con lo stesso raggio di prima. Applicando ancora Pappo, si ottiene che . Comparando le due espressioni per dq e semplificando, otterrei

Sì è esatto! L'effetto del campo esterno è, in pratica, quello di indurre in ciascuna sfera un momento di dipolo elettrico che puoi determinare dai tuoi calcoli. Avanti così

Il momento di dipolo di ciascuna sfera sarebbe ; non so se la definizione di dipolo con cariche puntiformi può essere estesa in questo modo, ma io l'avrei trovato considerando i momenti di dipolo infinitesimi dati da due corone di raggio , con una carica , distanti , quindi, visto che sono tutti allineati per simmetria, , che porta al risultato di prima.
Non so se a questo punto sia legittimo trovare il momento torcente come o se ci debba essere qualche altro passaggio intermedio visto che le cariche non sono puntiformi

Per una qualunque distribuzione di cariche vale , che è la definizione estesa del momento di dipolo elettrico. Quanto al momento torcente, dovresti accorgerti che essendo . Ciò significa che non puoi del tutto trascurare le interazioni tra le due sfere (come hai fatto finora per trovare i dipoli indotti da ), quindi devi andare all'ordine successivo e considerare l'influenza di ciascun dipolo sull'altra sfera, apportando delle correzioni.

Se ho capito bene, il momento torcente è dovuto solo alla componente perpendicolare al momento dipolare di una sfera del campo generato dall'altra sfera. Visto che però il campo dipolare generato è molto più debole di quello esterno, la distribuzione di carica sulle sfere può essere considerata inalterata, giusto