Oscillazioni di una cella d'aria.
Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Ho smesso di pensare alla questione che come era chiaro non serviva alla soluzione. Riprendo il mio discorso dal post precedente. Sviluppando in serie intorno a risulta allora . In la condizione di equilibrio (stabile) impone, come ho detto nel precedente post, che la spinta di Archimede uguagli il peso della celletta cioè dove v è il volume della celletta ed m la sua massa. Pertanto applicando la seconda legge intorno a risulta eliminando +mg con -mg. Dividendo per m e portando al primo membro si ottiene l'equazione di un moto armonico intorno a cioè . Da questa mi risulterebbe e dunque . Ma i miei conti a prescindere dal procedimento...
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Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Hai assunto che il volume della cella rimanga costante nelle sue oscillazioni, sei sicuro che ciò possa consistere col suo isolamento termico?
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Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Infatti ho compiuto un errore di calcolo ma forse anche di concetto. Avevo pensato che e per cui da avevo dedotto e poichè pensavo che praticamente . Però se non è così non so per ora come fare.
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Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
L'errore sta nel fatto che, mentre la cella si sposta, la sua densità non è la stessa dell'atmosfera alla stessa quota (tranne ovviamente in ). Invece è giusto, poichè la cella è termicamente isolata, imporre in essa la conservazione di , come stavi facendo scrivendo Ti manca solo un passaggio prima di arrivare alla soluzione
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Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Sono d'accordo che della cella non è quello dell'atmosfera. Ma penso che invece la pressione della cella alla quota z sia quella dell'atmosfera a quella quota. Se questo non è sbagliato per trovare della cella mi viene la potenza di che non so da due giorni come trattare
Forse sbaglio a sviluppare prima l'esponenziale in serie. Se l'ipotesi sulla pressione è giusta svilupperò con l'esponenziale sviluppandolo in serie solo alla fine. Mi pare che su ci sia un fattore 2/7 in più...
Forse sbaglio a sviluppare prima l'esponenziale in serie. Se l'ipotesi sulla pressione è giusta svilupperò con l'esponenziale sviluppandolo in serie solo alla fine. Mi pare che su ci sia un fattore 2/7 in più...
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Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Giusta l'osservazione sulla pressione e giusto il fattore . A questo punto ti direi di postare il procedimento completo
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Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Per l'isolamento termico della cella e riferendoci ad essa deve valere e dalle relazioni del primo post si ottiene
. La spinta di Archimede con la densità dell'atmosfera e il volume V(z) della cella vale allora essendo .
Riprendendo allora l'equazione del moto del post precedente, dopo aver sviluppato in serie l'ultimo esponenziale, essendo , elidendo +mg con -mg e dividendo per m
da cui emerge e quindi
. La spinta di Archimede con la densità dell'atmosfera e il volume V(z) della cella vale allora essendo .
Riprendendo allora l'equazione del moto del post precedente, dopo aver sviluppato in serie l'ultimo esponenziale, essendo , elidendo +mg con -mg e dividendo per m
da cui emerge e quindi
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Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Corretto!
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Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Riapro questo thread per proporre un bonus.
Supponiamo stavolta che l'atmosfera sia in equilibrio meccanico ma non termodinamico, cioè è una funzione generica (ovunque positiva). Trovare, in funzione dei parametri del problema originale e di , il periodo di oscillazione di una cella che all'equilibrio si trova a quota . Qual è la condizione su affinché non ci sia convezione (cioè, affinché piccoli spostamenti di una cella diano luogo a piccole oscillazioni)?
Supponiamo stavolta che l'atmosfera sia in equilibrio meccanico ma non termodinamico, cioè è una funzione generica (ovunque positiva). Trovare, in funzione dei parametri del problema originale e di , il periodo di oscillazione di una cella che all'equilibrio si trova a quota . Qual è la condizione su affinché non ci sia convezione (cioè, affinché piccoli spostamenti di una cella diano luogo a piccole oscillazioni)?
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Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Sia il numero di moli nella cella d'aria, il suo spessore, l'area di base, la sua quota. Dalla condizione di equilibrio si ha . Dalla legge dei gas perfetti , quindi
Visto che la cella non scambia calore con l'esterno, se la pressione interna varia di , allora lo spessore diventerà
Quando la cella si sposta di , , quindi dopo lo spostamento infinitesimo lo spessore sarà
Esprimendo la forza peso agente sulla cella in funzione della pressione come sopra, si ottiene che la forza netta è
Otteniamo quindi
Sfruttando la condizione di equilibrio si ha
Inserendo questo nell'espressione precedente si ottiene infine , quindi non si ha mai convezione se e solo se
Visto che la cella non scambia calore con l'esterno, se la pressione interna varia di , allora lo spessore diventerà
Quando la cella si sposta di , , quindi dopo lo spostamento infinitesimo lo spessore sarà
Esprimendo la forza peso agente sulla cella in funzione della pressione come sopra, si ottiene che la forza netta è
Otteniamo quindi
Sfruttando la condizione di equilibrio si ha
Inserendo questo nell'espressione precedente si ottiene infine , quindi non si ha mai convezione se e solo se