Un corpo in acqua è soggetto ad una forza viscosa .
Se il corpo è lasciato cadere da fermo, raggiungerà una velocità limite e continuerà ad affondare con questa velocità.
Supponiamo che al corpo venga impressa una velocità iniziale orizzontale . Qual è la velocità minima del corpo, nel suo moto?
245. Velocità Limite
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Re: 245. Velocità Limite
Iniziamo col trovare le componenti x e y della velocità in funzione del tempo.
Componete y:
Risolvento si trova
Componente x:
Risolvendo troviamo
Svolgendo i calcoli e usando si arriva a
Possiamo trovare il minimo di impostando la sua derivata a sapendo che coinciderà con il minimo della funzione
Trovo le due soluzioni e
E' la seconda soluzione quella che ci interessa:
Sostituiamo questo risultato nella funzione per trovare la soluzione e quindi
Componete y:
Risolvento si trova
Componente x:
Risolvendo troviamo
Svolgendo i calcoli e usando si arriva a
Possiamo trovare il minimo di impostando la sua derivata a sapendo che coinciderà con il minimo della funzione
Trovo le due soluzioni e
E' la seconda soluzione quella che ci interessa:
Sostituiamo questo risultato nella funzione per trovare la soluzione e quindi
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Re: 245. Velocità Limite
Tutto giusto, bravo.
Tuo il testimone
Tuo il testimone
Re: 245. Velocità Limite
Questo problema ha anche un'altra elegantissima soluzione che mi sembra doveroso condividere. Il problema è tratto da " 200 more puzzling physics problems", numero 19.
L'equazione del moto del corpo è
Siccome la velocità limite è , l'equazione del moto diventa
Definendo , ottengo
Ovvero la derivata di è parallela al vettore, che quindi non cambia mai direzione. Questa direzione è quella iniziale, ovvero . La velocità del corpo è quindi , dove è una funzione scalare. Significa che la testa del vettore si muove sulla linea in figura.
Come si può ben immaginare, è minimo quando coincide con
L'equazione del moto del corpo è
Siccome la velocità limite è , l'equazione del moto diventa
Definendo , ottengo
Ovvero la derivata di è parallela al vettore, che quindi non cambia mai direzione. Questa direzione è quella iniziale, ovvero . La velocità del corpo è quindi , dove è una funzione scalare. Significa che la testa del vettore si muove sulla linea in figura.
Come si può ben immaginare, è minimo quando coincide con
Sapere aude