230. Due urti
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230. Due urti
Ci sono tre palle da biliardo identiche di massa che chiamo 1, 2, 3.
2 e 3 sono a contatto, 1 si muove con velocità verso il punto di contatto di 2 e 3, perpendicolarmente alla retta che unisce i centri di 2 e 3.
Quale sarà la velocità di 1 dopo l'urto, se:
A) 1 urta simultaneamente 2 e 3
B) 1 non è perfettamente "in traiettoria" e urta prima 2 e poi immediatamente 3
Ignorare attriti e gravità, considerare gli urti perfettamente elastici.
Chiedetemi pure se vi servono chiarimenti, il problema l'ho tradotto
2 e 3 sono a contatto, 1 si muove con velocità verso il punto di contatto di 2 e 3, perpendicolarmente alla retta che unisce i centri di 2 e 3.
Quale sarà la velocità di 1 dopo l'urto, se:
A) 1 urta simultaneamente 2 e 3
B) 1 non è perfettamente "in traiettoria" e urta prima 2 e poi immediatamente 3
Ignorare attriti e gravità, considerare gli urti perfettamente elastici.
Chiedetemi pure se vi servono chiarimenti, il problema l'ho tradotto
Re: 230. Due urti
Provo a dare una soluzione, anche se non mi convince molto.
Per la parte A, dato che le palle 2 e 3 vengono colpite contemporaneamente assumo che abbiano la stessa velocità in seguito all'urto per ragioni di simmetria. Combinando la conservazione della quantità di moto e dell'energia (dato che l'urto è elastico) dal problema posso ricavare due informazioni:
Risolvendo il sistema ottengo che .
Per la parte B, ho ipotizzato che la palla 3 non risenta nesun effetto dal primo urto, perché altrimenti la situazione sarebbe analoga alla parte A, e dato che la palla 1 torna indietro non potrebbe mai colpire la 3 immediatamente dopo. Quindi ho pensato di analzzare separatamente i due urti: il problema è che dato che le palle 1 e 2 hanno la stessa massa, in seguito al primo urto la palla 1 dovrebbe fermarsi, quindi la mia risposta sarebbe . Non mi convince perché nemmeno in questo modo la palla 1 riesce ad urtare la 3, e non riesco a capire come possa farlo. Intanto ci ho voluto provare.
Per la parte A, dato che le palle 2 e 3 vengono colpite contemporaneamente assumo che abbiano la stessa velocità in seguito all'urto per ragioni di simmetria. Combinando la conservazione della quantità di moto e dell'energia (dato che l'urto è elastico) dal problema posso ricavare due informazioni:
Risolvendo il sistema ottengo che .
Per la parte B, ho ipotizzato che la palla 3 non risenta nesun effetto dal primo urto, perché altrimenti la situazione sarebbe analoga alla parte A, e dato che la palla 1 torna indietro non potrebbe mai colpire la 3 immediatamente dopo. Quindi ho pensato di analzzare separatamente i due urti: il problema è che dato che le palle 1 e 2 hanno la stessa massa, in seguito al primo urto la palla 1 dovrebbe fermarsi, quindi la mia risposta sarebbe . Non mi convince perché nemmeno in questo modo la palla 1 riesce ad urtare la 3, e non riesco a capire come possa farlo. Intanto ci ho voluto provare.
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Re: 230. Due urti
Hai fatto bene a provare, d'altronde il forum serve per imparare no?
Per quanto riguarda l'energia, la conservazione si può scrivere come
Ora cerca, attraverso la simmetria tra 2 e 3 e grazie ad un'altra idea, di risolvere questo sistema, e troverai il punto A
Se ti riferisci al modulo della velocità, si, avranno lo stesso modulo. Tuttavia
Credo che tu abbia fatto un po' di confusione. Infatti la conservazione della quantità di moto, che è una quantità vettoriale, si scrive comeCombinando la conservazione della quantità di moto e dell'energia (dato che l'urto è elastico) dal problema posso ricavare due informazioni:
Risolvendo il sistema ottengo che .
Per quanto riguarda l'energia, la conservazione si può scrivere come
Ora cerca, attraverso la simmetria tra 2 e 3 e grazie ad un'altra idea, di risolvere questo sistema, e troverai il punto A
Re: 230. Due urti
Sono impegnato con la maledetta matematica ma ti voglio sottoporre un'idea sulla conservazione dell'energia del sistema. Siccome dopo l'urto la conservazione dell'energia cinetica porterebbe a . Questo vorrebbe dire che è ortogonale a, diagonale del quadtrato di lato . Ciò vuol dire che quest'ultimo è diretto lungo l'asse x perchè di sicuro è diretto come y. Quindi il vettore e il vettoresono a 45°rispetto all'asse y, da parti opposte. Siccome il loro risultante deve essere v ciò vorrebbe dire che . Ho dubbi sul . Che ne pensi perchè l'osservazione sulla energia cinetica forse serve anche per la seconda parte. Due palle che si urtano obliquamente devono proseguire in direzioni ortogonali secondo me.
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Re: 230. Due urti
Purtroppo è errato, prova a pensare alla direzione dell'impulso durante l'urto
Questa è l'idea che manca
Questa è l'idea che manca
Re: 230. Due urti
Non so se intendi che al momento dell'urto i tre CM formano un triangolo equilatero di lato 2R e che le direzioni di e formerebbero un angolo di 30° con la verticale. Avevo già provato a fare i conti e mi veniva ma non mi convinceva e avevo preferito l'altra strada..Pazienza se è sbagliata anche questa!
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Re: 230. Due urti
l'angolo di 30° gradi si forma con l'orizzontale, non con la verticale. Prova a rivedere i conti
Re: 230. Due urti
Ma io avevo messo la velocità in verticale e la retta contenente 2 e 3 in orizzontale...Dovrebbe esser lo stesso ma proverò come dici tu..
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Re: 230. Due urti
Perdonami, avevo invertito i segni ma il risultato è corretto, sia in modulo che in segno. Procedi pure col punto b, se hai idee
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Re: 230. Due urti
Faccio il punto b)
Chiamo la velocità iniziale della palla , la sua velocità dopo l'urto con , la sua velocità dopo l'urto con , la velocità finale di e la velocità finale di . Sistemo gli assi cartesiani in modo che e che il centro di si trovi a un'ordinata maggiore di quella del centro di . Quando due palle si scontrano, l'impulso si trasmette lungo la congiungente i loro centri. Pertanto, l'impulso trasmesso dalla alla vale . La è inizialmente ferma, perciò è la sua qdm finale, e dunque . Similmente, la qdm di dopo l'urto varrà poiché le masse di tutte le palle sono uguali. La conservazione dell'energia si scrive allora come:
Da qui trovo
Con gli stessi ragionamenti ottengo , , e quindi, in conclusione:
Chiamo la velocità iniziale della palla , la sua velocità dopo l'urto con , la sua velocità dopo l'urto con , la velocità finale di e la velocità finale di . Sistemo gli assi cartesiani in modo che e che il centro di si trovi a un'ordinata maggiore di quella del centro di . Quando due palle si scontrano, l'impulso si trasmette lungo la congiungente i loro centri. Pertanto, l'impulso trasmesso dalla alla vale . La è inizialmente ferma, perciò è la sua qdm finale, e dunque . Similmente, la qdm di dopo l'urto varrà poiché le masse di tutte le palle sono uguali. La conservazione dell'energia si scrive allora come:
Da qui trovo
Con gli stessi ragionamenti ottengo , , e quindi, in conclusione:
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