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188. Pallone sonda
Inviato: 6 mar 2020, 18:06
da Luca Milanese
a) In un pallone sferico rigido di volume
si raccolgono
di vapore (trattarlo come un gas perfetto di massa molare
) alla temperatura di
gradi centigradi. Calcolare la pressione del vapore all’interno del pallone.
b) Supponendo che esso abbia massa
e che l’atmosfera abbia densità
, dove
è la quota in metri sul livello del mare e valgono
e
, trovare l’altezza alla quale il pallone si trova in equilibrio (cioè la quota alla quale esso può restare indefinitamente).
c) In realtà il pallone ha una certa energia cinetica e raggiunta la quota di equilibrio esso ha una velocità verso l’alto che gli impedisce di fermarsi. Considerando la velocità piccola (dell’ordine dei metri al secondo) dire qualitativamente perchè il moto è periodico e determinarne il periodo. Può essere utile sapere che
per
.
Re: 188. Pallone sonda
Inviato: 6 mar 2020, 19:08
da east_beast
Provo prima i punti a e b
a) Detta
la massa di vapore contenuta nel pallone, trattandolo come un gas perfetto, possiamo scrivere l'equazione di stato
con
quindi
b) All'equilibrio, le forze agenti sulla sonda sono la spinta di Archimede e il peso della sonda+gas, quindi:
c) Qualitativamente, il moto è periodico perchè una volta superata l'altezza di equilibrio
la risultante delle forze punterà verso il basso, facendo scendere la sonda sotto
, finché non si fermerà ulteriormente iniziando ad accelerare verso l'alto, e così via
Re: 188. Pallone sonda
Inviato: 6 mar 2020, 19:47
da Luca Milanese
Tutto corretto
.
Re: 188. Pallone sonda
Inviato: 6 mar 2020, 20:34
da east_beast
Azzardo (fin troppo) il terzo punto.
Come scritto nel punto b) la risultante delle forze (positiva verso l'alto) è
, dove
.
Posso definire un potenziale per questa forza (essendo entrambi i termini conservativi), ossia
, con
Usando Taylor, espandendo ai primi tre termini, trovo che
detto
un punto di equilibrio.
lo impongo (il potenziale è definito a meno di una costante additiva),
essendo
un punto di equilibrio, quindi
, che assomiglia al potenziale di una molla, e difatti descrive il potenziale di un moto armonico.
Sapendo che
Ricordando l'equazione del moto armonico, la frequenza di piccole oscillazioni è
quindi
ed il periodo è
dal punto b), mentre
quindi
. Mi rendo conto che non è molto accurato, ma non credo di saper fare meglio
Re: 188. Pallone sonda
Inviato: 6 mar 2020, 21:36
da Luca Milanese
Il ragionamento è corretto (fai attenzione ai segni quando scrivi i potenziali!), ma alla fine penso tu abbia fatto un errore di calcolo (dovrebbe venire
). Comunque, il testimone è tuo!.
Re: 188. Pallone sonda
Inviato: 6 mar 2020, 22:18
da east_beast
Sembra che io abbia invertito i segni
Ho sempre dei dubbi in questi casi, potresti illuminarmi piu in generale?
Re: 188. Pallone sonda
Inviato: 6 mar 2020, 22:58
da Luca Milanese
Vediamo... come tu stesso hai scritto, per una forza conservativa e la relativa energia potenziale vale
, che, nel nostro caso, poichè siamo in una sola dimensione, si riduce a
. Ora, poichè tu hai scritto:
east_beast ha scritto: ↑6 mar 2020, 20:34
la risultante delle forze (positiva verso l'alto) è
dovrebbe essere allora
, da cui
, cioè quello che hai scritto tu dopo ma col segno invertito. È il motivo per cui alla fine
ti viene negativo (e immagino che nel calcolare il radicale tu abbia preso solo il modulo di
. Questo però, fortuitamente, non ha inficiato il resto del procedimento (che rimane corretto ed è anche un po' diverso da quello che avevo pensato), per cui ti chiedo di confermarmi che il tuo risultato numerico sia diverso da quello corretto solo per un errore di conto.
Re: 188. Pallone sonda
Inviato: 6 mar 2020, 23:11
da east_beast
Grazie per il chiarimento! Purtroppo sono abbastanza distratto a volte
Comunque sì avevo sbagliato a inserire i dati e mi veniva un tempo diverso. Per completezza, in cosa differiva la tua soluzione?
Re: 188. Pallone sonda
Inviato: 6 mar 2020, 23:20
da Luca Milanese
La mia soluzione, come quella ufficiale, invece di basarsi sui potenziali, usava l'espressione di
ottenuta anche da te per impostare un'equazione differenziale fra
e
, che si riduceva a quella del moto armonico semplice dopo aver impiegato l'approssimazione proposta. Da lì, si ricavava un'espressione di
identica alla tua
.