dato che il problema mi sembra irrisolto da troppo tempo propongo una soluzione usa un cannone ma mi sembra il modo più svelto di risolverlo.
Premetto che userò la trasformata di Fourier finita che si riassume nelle seguenti formule: date
tensioni
allora si possono riscrivere in una nuova ennupla di tensioni
attraverso le seguenti formule
dove
è l'unità immaginaria e la prima equazione trasforma le
nelle
e la seconda è la trasformazione inversa;
con queste trasformazioni data un ennupla le corrispondenti sono uniche e viceversa (attenzione le
non hanno nessun significato fisico sono solo un modo per fare meglio i conti).
Veniamo al problema, prendo un n-agono regolare dove le diagonali sono composte da resistenze tutte uguali e pari a
e volgiamo trovare la resistenza equivalente
cioè quella tra il nodo
e il nodo
;
per calcolarla attacchiamo un generatore di corrente costante tra i nodi
ed
di intensità
e andiamo a calcolarci la differenza di potenziale
tra i due nodi, così
.
chiamo
il potenziale sull'ennesimo nodo e impongo che
(posso farlo perché devo specificare lo
rispetto cui riferisco i vari potenziali);
scrivo la prima legge di kirchhoff per l'ennesimo nodo
dove
è pari a
se i nodi
ed
sono collegati da una resistenza, altrimenti è nulla,
è la corrente esterna che impone il generatore di corrente quindi
ed è nulla altrimenti.
quindi bisogna risolvere il sistema di
equazioni (dove si è assunto
)
usando la trasformata di Fourier si può scrivere
e per unicità (l'equazione vale per ogni
) posso prendere l'uguaglianza componente per componente
quindi
antitrasformando
con qualche conto e usando l'identità
si ricava
in particolare per il nostro problema
spero di essere stato chiaro nei passaggi.