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Consideriamo un gas contenuto in un recipiente cilindrico chiuso superiormente da un pistone, di area A, libero di muoversi senza attrito. Consideriamo un'espansione (spostamento del pistone verso l'alto).Le forze esterne agenti sul pistone e lo spostamento (verso l'alto) sono vettori antiparalleli per cui tali forze compiranno un lavoro resistente. Per il teorema delle forze vive: quindi il lavoro compiuto dal gas durante l'espansione vale . Da quest'ultima relazione si deduce che in espansione è positiva quindi il gas compie lavoro sul pistone; in compressione è negativo quindi l'ambiente compie lavoro sul sistema. Se adesso consideriamo una compressione il lavoro compiuto sul gas durante la compressione vale . Il in compressione è negativo quindi mi verrebbe un lavoro fatto sul gas positivo invece che negativo come prevede la convenzione del lavoro in termodinamica. Dove sbaglio?

Il problema non esiste. La formula è valida sia per l'espansione che per la compressione purchè la variazione di volume abbia segno positivo nell'espansione e negativo nella compressione difatti la dimostrazione che hai usato prende il lavoro positivo nel caso in cui la forza sia nello stesso verso della variazione di posizione del pistone, come del resto si fa normalmente