134 Reticolo infinito

[carol]

Un reticolo bidimensionale infinito è costituito da maglie quadrate conduttrici nelle quali ciascun lato ha resistenza R. Detti A e B gli estremi di un lato, determinare il valore della resistenza fra questi due punti.
Cosa succede se successivamente sostituiamo solo la resistenza R del lato AB con una uguale a 2R?

[Gamow00]

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[carol]

I tuoi risultati di questo strano sns sono giusti! Sono tuoi sia la postazione del procedimento che hai usato sia il testimone della staffetta

[Gamow00]

Inizio subito dicendo che la soluzione al 1) non è farina del mio sacco; è un problema molto noto che conoscevo già. Il 2) invece l'ho fatto io.

1) Supponiamo di "iniettare" una corrente nel vertice A e di "prelevarla" all'infinito. Potete immaginarvi un anello di centro A e raggio infinito che preleva la corrente.
Al vertice A sono collegati 4 lati. Allora, per simmetria, la corrente che fluisce in ogni vertice è .
Ora Supponiamo di iniettare nell'anello all'infinito una corrente e di "prelevare" questa corrente in B. Allora in ogni lato adiacente a B fluisce una corrente . Adesso sovrapponiamo queste due situazioni. Otteniamo che una corrente entra in A e esce in B. La corrente che scorre in AB sarà la somma delle correnti che scorre nelle due situazioni. Significa che metà della corrente passa dal lato AB mentre l'altra metà in tutto il resto della griglia. Quindi il resto della griglia ha la stessa resistenza del lato AB, cioè . La resistenza tra i vertici A e B è quindi quella di due resistenze messe in parallelo, cioè .

2) Siccome sappiamo che la resistenza della griglia tolto il lato AB è , se ai vertici A e B colleghiamo una resistenza , avremo una resistenza e una in parallelo.
La resistenza totale è quindi .

[antonella_05]

Perdonatemi ma non ho ben capito…. Con il ragionamento fatto a me risulta che nel tratto che ci interessa passi I/4 e nel resto 3/4 I e che quindi la resistenza ‘fuori’ sia 3R (ovviamente tutto prima che venga inserita 2R al posto di R). Probabilmente mi è sfuggito qualcosa nel procedimento …
Grazie in anticipo

[Pigkappa]

No; la corrente che passa nel tratto che ci interessa è I/2, non I/4.

La soluzione richiede di sommare due scenari.

Il primo scenario è quello in cui una corrente I entra in A, si divide in I/4 in ogni ramo, e arriva fino all'infinito.

Il secondo scenario è quello in cui una corrente I viene estratta da B, arrivando quindi in quantità I/4 da ogni ramo che passa per B.

La somma di questi due scenari descrive il problema, perché prevede che corrente I entri in A ed esca da B, e nel ramo tra i due passa I/4+I/4 = I/2.