Mi ero ripromesso di farlo, ma davvero non ho avuto il tempo fino ad adesso. Vorrei sottoporre una soluzione che mi è stata ispirata durante lo stage di Fisica tenuto a inizio febbraio (per i posteri, date un'occhiata perchè è molto interessante /finepubblicità) dagli studenti della Normale a partire da un problema davvero molto bello sulla schermatura di Debye. Fondamentalmente, per affrontare il problema, si ricorre -nell'assunzione di alte temperature per poter affrontare il problema analiticamente- alle funzioni di distribuzione che variano secondo l'esponenziale
. Si associa ora agli ioni positivi un'energia del tipo
e a quelli negativi una del tipo
e conseguentemente a ciascuna corrisponde una funzione di distribuzione del tipo (si ingloba l'energia cinetica nella costante)
Appunto, nel caso di alte temperature, si possono approssimare tali funzioni di distribuzione al primo ordine (NOTA BENE: non calcolerò il valore delle costanti, se poi volete fare davvero qualcosa di brutto le imponete uguali a 1).
Cosa indicano tali funzioni di distribuzione? Il numero rispettivamente di ioni positivi e negativi che sono presenti all'interno di uno strato del cilindro centrato in z e di altezza dz: in teoria la costante è tale che l'integrale di tali funzioni di distribuzione da 0 a H restituisca il numero totale di ioni.
Si considera ora la forma differenziale del teorema di Gauss per il campo elettrico, da cui si ha un questo caso che vale
Ma a sua volta si ha che vale
con
(a sinistra si ha la carica infinitesimale contenuta in un volumetto di spessore dz ad altezza z, a destra la stessa cosa...infatti si moltiplica il numero di ioni per la loro carica in quello stesso volumetto).
Si può allora sostituire ciò all'interno del teorema di Gauss, ottenendo un'interessante equazione differenziale lineare non omogenea del secondo ordine che, risolta, restituisce V(z): si deriva rispetto a z per ottenere E(z) e, per determinare le costanti della funzione, si impone E(0)=0 ed E(H)=0. Perchè ciò è ragionevole? Perchè complessivamente la miscela è neutra, per cui ci si aspetta che alle estremità il campo elettrico sia nullo.
Se svolgete tutti i conti (non mi voglio così male da riportarli qui), dovrebbe uscire che il campo elettrico vari come un'onda sinusoidale all'interno della scatola con due nodi, tra l'altro, alle estremità; se poi si considera il campo elettrico medio al suo interno, ponendo le costanti delle funzioni di distribuzione pari a 1, dovrebbe uscire proprio il fantomatico
!
Nello scrivere potrei aver fatto casini, ma spero di aver reso l'idea.