SNS 2010/2011 numero 5

[Luke]

E' dato un condensatore quadrato di lato L e distanza d tra le armature. Inizialmente è caricato fino a che è raggiunta una differenza di potenziale V tra le sue facce. A questo punto si immerge il condensatore per metà (fino a L/2) in un fluido dielettrico di costante dielettrica relativa e densità . Calcolare all'equilibrio la differenza di altezza che assume il liquido tra le armature del condensatore rispetto a quello all'esterno (si può immaginare che sia immerso in una specie di vasca).

Vado a memoria quindi se mi sono scordato qualcosa correggetemi!

[Spammowarrior]

penso che sia importante dire che viene staccato dalla batteria prima di essere immerso
inoltre il liquido arriva a metà all'interno dell'armatura, non all'esterno

[AxxMan]

Se la carica in un condensatore rimane costante e si inserisce un dielettrico, la capacità aumenta quindi diminuisce l'energia nel condensatore, che presumibilmente andrà a trasferirsi al dielettrico sotto forma di energia potenziale gravitazionale, e quindi da lì si trova la differenza tra il livello del dielettrico e il resto... Avete fatto così?

[Spammowarrior]

esattamente, credo che fosse il più facile tra i problemi

[giove]

Anch'io l'ho fatto così (in mancanza di altre idee), ma sono abbastanza convinto che l'energia non si conservi... (più precisamente Giuliano mi ha convinto )

[Spammowarrior]

Anch'io l'ho fatto così (in mancanza di altre idee), ma sono abbastanza convinto che l'energia non si conservi... (più precisamente Giuliano mi ha convinto )

brutta storia, perchè non si conserva?

[Ippo]

Beh a rigore sì, si conserva, e il fluido nel condensatore oscilla su e giù (armonicamente assumendo piccole oscillazioni, oppure in modo brutto a piacere per oscillazioni grandi) attorno alla nuova posizione d'equilibrio, cioè la quota che minimizza la somma di e. potenziale gravitazionale e di e. elettrostatica. In presenza di qualche attrito l'energia cinetica dell'oscillazione viene dissipata e in definitiva la quota diventa stabilmente quella d'equilibrio (e l'energia a questo punto non si è conservata chiaramente).

[Stardust]

Ecco la mia soluzione (anche se quella consegnata nel compito è un po' diversa...)
Poniamo la capacità iniziale pari a:

Il condensatore riempito a metà di acqua è la composizione di due condensatori in parallelo.
Quello in cui c'è aria presenta una capacità pari a:


Il condensatore riempito di acqua invece ha una capacità pari a


La capacità complessiva in questa situazione è:


La carica depositata all'inizio non viene modificata, quindi dalla definizione di capacità siamo in grado di risalire alla differenza di potenziale che si instaura alla fine:


dove rappresenta la tensione esistente tra le due armature alla fine.
Essa quindi vale:


E' noto che il campo elettrico è definito come la derivata spaziale del potenziale, quindi:
essendo il campo uniforme tra le armature.

Questo ci permette di trovare la densità di energia in e :





La densità di energia in un condensatore è una forma di pressione (precisamente quella fatta da una faccia sull'altra).
E' chiaro che la differenza di densità di energia (a vantaggio del condensatore inferiore, riempito di acqua), va riequilibrata dalla pressione idrostatica.
Quindi:




Da ciò:
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[Pigkappa]

E' noto che il campo elettrico è definito come la derivata spaziale del potenziale, quindi:

Spero bene che tu non abbia scritto questa cosa nella prova!

[Stardust]

E' noto che il campo elettrico è definito come la derivata spaziale del potenziale, quindi:

Spero bene che tu non abbia scritto questa cosa nella prova!

Non ti preoccupare Pigkappa, questa stupidaggine manca nella mia prova, ma ce n'è qualche altra comunque notevole...

Per chiarire un'attimo quello che volevo esprimere a parole, lo riporto in forma matematica:

Premetto che non ho molta familiarità con l'operatore nabla, che dovrebbe avere il significato di rotore o divergenza. Mi pare sia usato anche nella forma differenziale delle equazioni di Maxwell.

Comunque, a parte qualche possibile errore, magari con il segno meno o nel posizionamento della freccette dei vettori, con questa formula intendo che il valore del campo elettrico può essere ricavato svolgendo le derivate parziali del potenziale nelle tre dimensioni spaziali x, y e z.
Nel caso del problema, il campo è uniforme/costante e parallelo al livello del liquido, quindi orizzontale, perciò tutto si riduce all'espressione:
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