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Tre punti materiali non allineati $\displaystyle P_1$ , $\displaystyle P_2$ e $\displaystyle P_3$ di masse note $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ e $\displaystyle m_3$ interagiscono tra loro solo per effetto delle forze di gravità, e non sono influenzati da altri corpi. Sia $\displaystyle z$ l'asse che passa per il centro di massa dei tre punti e che è perpendicolare al triangolo $\displaystyle P_1P_2P_3$ . Quali condizioni devono soddisfare la velocità angolare $\displaystyle w$ del sistema intorno all'asse $\displaystyle z$ e le distanze:

$\displaystyle a = P_1P_2$

$\displaystyle b = P_2P_3$

$\displaystyle c = P_3P_1$

Affinchè la forma e le dimensioni del triangolo $\displaystyle P_1P_2P_3$ non cambino durante il moto (in altre parole, sotto quali condizioni il sistema ruota intorno all'asse $\displaystyle z$ come se fosse un corpo rigido)?

Fonte: IPHO 1989, Problema 2. Difficoltà: secondo me sarebbe un Senigallia medio. Commenti: ci sono vari modi di risolverlo. È un problema molto interessante.

Tentar non nuoce...

Anzitutto scriviamo le equazioni delle coordinate del centro di massa del sistema:

$x_{CM}=\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_2}$

$y_{CM}=\frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_2}$

Affinchè i corpi ruotino come se fossero un corpo rigido occorre che abbiano tutti e tre la stessa velocità angolare $\omega$ e la risultante delle forze di attrazione gravitazionale in ognuno dei tre punti sia una forza centripeta diretta verso il centro di massa del sistema:

$F_{12} + F_{13} = F_{C_1}$

$G\frac{m_1 m_2}{a^2} + G\frac{m_1 m_3}{c^2} = m_1 \cdot \omega^2 \cdot d_1$

dove $d_1=\sqrt{(x_{CM}-x_1)^2 + (y_{CM}-y_1)^2}$

ovvero, scomponendo le forze lungo le componenti x e y di un sistema di riferimento cartesiano:

$F_{12x} + F_{13x} = F_{C_1x}$ e similmente per le componenti y

$G\frac{m_1 m_2}{a^3}a_x + G\frac{m_1 m_3}{c^3}c_x = m_1 \cdot \omega^2 \cdot (x_{CM}-x_1)$

$G\frac{m_1 m_2}{a^3}a_x + G\frac{m_1 m_3}{c^3}c_x = m_1 \cdot \omega^2 \cdot \frac{m_2 a_x + m_3 c_x}{m_1 + m_2 + m_3}$

$G\frac{m_1 m_2}{a^3}a_y + G\frac{m_1 m_3}{c^3}c_y = m_1 \cdot \omega^2 \cdot \frac{m_2 a_y + m_3 c_y}{m_1 + m_2 + m_3}$

Da cui dividendo membro a membro si ottiene:

$\frac{m_2a_xc^3+m_3c_xa^3}{m_2a_yc^3+m_3c_ya^3} = \frac{m_2 a_x + m_3 c _x}{m_2 a_y + m_3 c_y}$

che porta ad avere $a=c$ e quindi se si ripete lo stesso procedimento con altri punti

$a=b=c$

Per quanto riguarda il calcolo della velocità angolare:

$G\frac{m_1 m_2}{a^3}a_x + G\frac{m_1 m_3}{c^3}c_x = m_1 \cdot \omega^2 \cdot (x_{CM}-x_1)$

Dal momento che abbiamo stabilito che $a=b=c$ si ha:

$G\frac{m_1 m_2}{a^3}a_x + G\frac{m_1 m_3}{a^3}c_x = m_1 \cdot \omega^2 \cdot (x_{CM}-x_1)$

$\frac{G m_1}{a^3} \left (m_2(x_2 - x_1) + m_3(x_1 - x_3) \right )$ $= m_1\cdot \omega^2 \cdotx\frac{m_2(x_2 - x_1) + m_3(x_1 - x_3)}{m_1 + m_2 + m_3}$

da cui si ha

$\omega^2=G \cdot \frac{m_1+m_2+m_3}{a^3} \Rightarrow \omega = \sqrt{G \cdot \frac{m_1+m_2+m_3}{a^3}}$

Sì, e questa è probabilmente la soluzione che viene in mente più facilmente (anche io un anno fa l'avevo fatto così). Adesso cercatene una più rapida coi vettori

Mmm...non sono un grande ammiratore dei vettori...un hint?

Col metodo vettoriale richiesto si ricavano direttamente le precedenti risposte.
Accelerazione di $m_1$ :

$\frac{Gm_2\overrightarrow{P_1P_2}}{a^3}+\frac{Gm_3\overrightarrow{P_1P_3}}{c^3}=\omega^2\,\overrightarrow{P_1C}=\,\omega^2\,\frac{m_2\overrightarrow{P_1P_2}+m_3\overrightarrow{P_1P_3}}{m_1+m_2+m_3}$

dove C è il centro di massa del sistema.
I vettori uguali al primo e terzo membro della relazione si scindono nelle stesse componenti nelle direzioni $\overrightarrow{P_1P_2}$ e $\overrightarrow{P_1P_3}$ .
Ciò implica che

$\frac{G}{a^3}=\frac{\omega^2}{m_1+m_2+m_3}=\frac{G}{c^3}$

Considerando anche le accelerazioni delle altre due masse si ottiene a = b = c.
Infine si ha

$\omega=\sqrt\frac{G(m_1+m_2+m_3)}{a^3}$

pascal ha scritto: $\displaystyle \frac{Gm_2\overrightarrow{P_1 P_3}}{a^3}+\frac{Gm_3\overrightarrow{P_1P_3}}{c^3}$

scusami ma non riesco ad avere chiarezza su come si arrivi a questo perchè non son molto pratico di vettori..

$\displaystyle \frac{Gm_2}{a^2} \overrightarrow{(1\rightarrow2)} +\frac{Gm_3}{c^2} \overrightarrow{(1\rightarrow3)} = \frac{Gm_2}{a^2} \frac{\overrightarrow{a}}{a}+\frac{Gm_3}{c^2}\frac{\overrightarrow{c}}{c}$
sarebbe questo?
( $1\rightarrow2$ = versore)

Infatti l'espressione rappresenta la risultante delle forze gravitazionali su m1, dovute ad m2 ed m3, rapportata alla massa m1. L'indicazione dei vettori da P1 a P2 e da P1 a P3 serve per scrivere la composizione vettoriale delle forze e quindi l'accelerazione di m1. E' evidente che il rapporto tra un vettore e il suo modulo equivale al versore orientato come lo stesso vettore.

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Tre corpi intorno a un asse.

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