Staffetta elettromagnetica

[Gauss91]

Ciao a tutti! Visto il successo della staffetta meccanica, vista la mia originaria intenzione di offrire un sistema completo di thread "giocosi" e visto che mi piace "svegliare" il forum, propongo un'altra staffetta, dedicata esclusivamente ai problemi di elettromagnetismo.

Spero mi permettiate di dire un paio di cose, che spero vengano accettate da tutti (non dico cose a caso, ma mi ispiro alle staffette dell'oliforum matematico). Sappiamo praticamente tutti che un problema di elettromagnetismo, molto spesso, è in realtà un problema di meccanica. Questo è inevitabile, come inevitabile è lo sconfinare in altre branche (non è raro che ci si infili dentro qualcosa di termodinamica), tuttavia qua bisogna confidare nel buon senso di chi posta i problemi. Egli dovrebbe capire quando un problema è "più elettromagnetico che altro" o "più meccanico che altro". Con questo non voglio dire che non ci va la meccanica in questi problemi, anzi è inevitabile ed anche utilissima. Quello che voglio dire è (per esempio) che se uno volesse proporre un problema analogo a quello del thread "Asta che gira", ma dicendo che l'asta ha una carica q e che oltre al campo gravitazionale ce n'è anche uno elettrico, sarebbe meglio che lo postasse nella staffetta di meccanica, perché a parte imporre una forza in più nelle considerazioni del moto, non c'è nulla di elettromagnetico.

Detta questa premessa, a voi il
Problema 1 (Halliday): Una striscia di metallo lunga 6.5cm, larga 0.88cm e spessa 0.76mm si muove con velocità costante v, parallela al suo asse maggiore, attraverso un campo magnetico B = 1.2mT perpendicolare alla striscia stessa. Una differenza di potenziale di 3.9V è misurata fra due punti x ed y attraverso la striscia, posti uno diametralmente all'altro.
Si determini la velocità v.

[Stardust]

In che senso i punti x e y sono diametralmente opposti? Possiamo considerarli come vertici opposti del parallelogramma (molto appiattito...)?

[Gauss91]

Piccolo hint: perché la domanda che mi hai fatto è superflua? (Basta che uno stia da una parte e l'altro dall'altra, non importa la "altezza" dei due punti rispetto al parallelogramma prova a dare una risposta a questo).

[Stardust]

Quella differenza di potenziale non è tale nel vero senso della parola. Si tratta di una forza elettromotrice indotta da una variazione di flusso magnetico, quindi il campo elettrico derivante non è statico-conservativo ed è impossibile associare ad un certo punto al suo interno un dato potenziale.
Comunque se la striscia si muove in senso parallelo alla sua lunghezza maggiore l, allora frontalmente avanza con il lato
, no?
Se è così, allora il flusso magnetico che attraversa una lamina di spessore infinitesimo della striscia perpendicolarmente alle due facce maggiori è
.
La forza elettromotrice è quindi

La striscia ha uno spessore , quindi può essere considerata come la sovrapposizione di N lamine infinitesime, ma non riesco a capire quante sono (magari ?).

[Stardust]

Ritratto tutte le mie precedenti affermazioni contenute nel post sopra esposto.
In realtà sia l'area che il campo restano sempre costanti (sicuramente la striscia non è deformata nello spostamento), quindi il loro prodotto è costante: non c'è assolutamente alcuna variazione di flusso magnetico, che quindi non può essere la causa della fem.
Il ragionamento che (forse) è più corretto consiste nel vedere cosa accade agli elettroni liberi del metallo.
Spinti dal campo magnetico, vengono ammassati ad un bordo della striscia, dal lato parallelo al movimento. Questa distribuzione provoca un campo elettrico esistente tra i due lati, in modo tale che all'equilibrio gli elettroni non subiscono più alcuna forza netta. Perciò i moduli delle forze magnetica ed elettrica (dirette in versi opposti lungo la stessa direttrice) si eguagliano:
con il campo elettrico che vale:
, in cui .
Quindi la forza elettromotrice indotta dallo spostamento è
.
Quindi:
.

[Gauss91]

Ok bene (la seconda versione ovviamente ). Dai questo era estremamente facile per cominciare, a te un problema più tosto!

[Stardust]

Beh, ora cerco di farmi perdonare per le precedenti sciocchezze che ho scritto, proponendo un problema dell'ammissione alla Normale di Pisa del 1979.

Un solenoide cilindrico ha raggio pari a , lunghezza , con un 200 spire. In un certo istante si rileva una corrente , poi il solenoide è cortocircuitato. Dopo 24 ore si misura nuovamente la corrente, non trovando nessuna variazione rispetto a , entro i limiti di precisione dello strumento di misura .
Calcolare:
a. l'induttanza del solenoide;
b. la costante di tempo caratteristica;
c. la resistenza del filo del solenoide.

[spn]

In realtà sia l'area che il campo restano sempre costanti (sicuramente la striscia non è deformata nello spostamento), quindi il loro prodotto è costante: non c'è assolutamente alcuna variazione di flusso magnetico, che quindi non può essere la causa della fem.

L'area non rimane costante in quanto il corpo si sta muovendo, ed è proprio quella la causa della fem.

Volevo far notare che i procedimenti che hai usato sono validi entrambi: nel secondo non stai facendo altro che dimostrare il teorema di Faraday.

[Gauss91]

1. L'induttanza di quel solenoide è


2. La corrente i del circuito diminuisce al passare del tempo secondo la legge , da cui .
Dai dati del problema si deduce che , quindi
, quindi , quindi .

3. Dalla relazione si ottiene .

Ovviamente, non avendo valori esatti, si ottengono solo intervalli. Se effettivamente la corrente non diminuisse affatto (R = 0), la costante di tempo induttiva sarebbe infinita, e il materiale del filo sarebbe un superconduttore.

[Stardust]

Ok, però vorrei un attimo tornare al primo problema e al ragionamento di spn.
In effetti anche l'iniziale ragionamento con il teorema di Faraday-Lenz sarebbbe andato bene (senza tener conto dello spessore della lamina), ma non capisco perchè l'area della spira deve essere considerata variabile. Al massimo si può dire che la lamina copre una certa area, che, muovendosi, cresce, ma non mi sembra si possa parlare a rigore di una variazione di flusso magnetico della spira stessa...