Disco rotante

[Stardust]

Si consideri un disco metallico posto orizzontalmente in rotazione intorno al suo asse centrale, di raggio e con velocità angolare .
Se tale disco è attraversato perpendicolarmente alla sua superficie da un campo magnetico uniforme di intensità , si determini la differenza di potenziale tra il centro e il bordo esterno del disco.

[Gauss91]

Sia dS un settore circolare infinitesimo di disco, sotteso da un angolo .
L'area di dS sarà , dove A è l'area totale del disco, da cui .
Si calcola ora la variazione del flusso di campo magnetico:
.
Questa variazione di flusso del campo magnetico genera la differenza di potenziale cercata
.
Sostituendo i dati del problema si ottiene infine
.

Mi sembra troppo facile... c'è qualcosa che mi sfugge?

[Stardust]

Non credo ti sia sfuggito niente, sembra effettivamente semplice.

[Falco5x]

Sì, il risultato mi pare corretto ma il procedimento mi lascia perplesso.
Io l'avrei risolto per altra via.
Quello che mi lascia perplesso in questa soluzione è l'utilizzo un po' disinvolto che qui si fa della legge di Faraday.
Prima di tutto questa area elementare così definita ha flusso costante, poiché anche se essa si muove nel campo magnetico, durante il suo movimento tanto flusso perde dal bordo posteriore quanto ne acquista dal bordo anteriore.
In secondo luogo la legge di Faray si riferisce alla fem indotta sul contorno di una superficie. E qui poiché lungo il contorno di questa superficie elementare non si genera fem (si parte dal centro e si torna sempre al centro per cui l'inegrale di campo è nullo non essendoci corrente circolante a regime), ciò conferma il fatto che la variazione di flusso è nulla.
Insomma, anche se il risultato viene fuori, mi sembrerebbe più corretto risolvere utilizzando la forza di Lorentz sugli elettroni liberi e concludere che a regime (elettroni fermi una volta stabilita la ddp) il campo elettrostatico dovuto all'accumulo di cariche sul bordo genera un campo elettrico responsabile di una forza in ogni punto uguale e contraria rispetto alla forza di Lorentz. Dunque integrando questo campo dal centro alla periferia si perviene alla soluzione, che come ho detto dà risultato coincidente con la soluzione proposta.
O almeno così mi pare.

[Stardust]

Quindi la soluzione concettualmente più corretta si fonda sul raggiungimento dell'equilibrio delle forze agenti su una piccola quantità di carica qualunque all'interno del disco rotante.
Sappiamo che in una spira si verifica (al raggiungimento dell'equilibrio tra forze magnetica ed elettrica) la seguente relazione:
, se e sono perpendicolari.
Nel nostro caso però v non è fissa ma dipende dalla distanza dall'asse del punto considerato, quindi ogni singolo elemento infinitesimo del disco contribuisce allo sviluppo di un'infinitesima differenza di potenziale, secondo la relazione:
.
Ne consegue che la differenza di potenziale complessiva tra il centro, cui diamo posizione 0, e il bordo esterno, a distanza R, è data da:
.
In pratica si ha:
.
Vorrei un piccolo chiarimento tecnico:
nelle formule sopra scritte, le dimensioni dei simboli matematici come [],{}, etc. sono un po' troppo piccole per una comoda lettura. C'è qualche comando specifico per renderle più grandi?

[Rigel]

Vorrei un piccolo chiarimento tecnico:
nelle formule sopra scritte, le dimensioni dei simboli matematici come [],{}, etc. sono un po' troppo piccole per una comoda lettura. C'è qualche comando specifico per renderle più grandi?

[Stardust]

Grazie mille della dritta... devo ancora prendere la mano con tutti i mille aspetti del mondo !