Uno spazzaneve particolare

[Stardust]

Sono le ore 11.00 a.m. in un'imprecisata località alpina, dove da questa notte è in corso un'intensa nevicata, che però si svolge con un ritmo di caduta dei fiocchi (stranamente) costante.
Le autorità hanno deciso di far intervenire il solo ed unico spazzaneve a disposizione, per di più alquanto vecchio (i miracoli dell'organizzazione italiana!), che inizia a lavorare alle ore 9.00 a.m. e nel giro di 1 h riesce a ripulire (addirittura) 1 km di strada.
L'instancabile spazzaneve è usato anche tra le 10.00 a.m. e le 11.00 a.m., ma purtroppo riesce a liberare solo 500 m dalla coltre bianca.
Tra tutti i difetti del nostro eroe spazzaneve c'è anche l'obsoleto motore, che però ha una prodigiosa proprietà:
la velocità con cui fa muovere il mezzo è inversamente proporzionale all'altezza della neve che deve spostare.
Da queste informazioni bisogna risalire all'orario in cui la neve ha cominciato a cadere.
Questo problema è stato proposto nel numero di Gennaio di Le Scienze, nella rubrica "Rudi Matematici", più o meno in questi termini.

[Falco5x]

Simpatico problema.

Mi viene che ha cominciato a nevicare alle ore 8.23 circa.

[pascal]

Anche io ho trovato un anticipo in ore rispetto alle 9 uguale alla formula della sezione aurea, ma l’ho scartato perché la traccia indica un inizio notturno della nevicata.

[Rigel]

Confermo, anche a me esce 8.23. sarebbe interessante vedere anche la legge oraria del simpatico spazzaneve

[pascal]

Anche se i procedimenti accennati sembrano abbastanza convincenti, espongo qualche mia divagazione irrealizzabile.
Dopo la pulizia di 1 km, la strada viene di nuovo innevata, perciò l’operazione deve essere ripetuta con velocità media maggiore perché lo strato da eliminare è minore. Allora il tragitto deve essere iterato moltissime volte con velocità medie crescenti. Dopo un’ora è estremamente grande la velocità, infinitesimo il tempo di viaggio, sgombero completamente il cammino. Una velocità elevata può essere tollerata come ipotesi.

[Stardust]

Nessuno ha pubblicato i passaggi intermedi... Allora posto i miei, anche perchè non capisco da cosa venga fuori quell'8.23.
I dati e i simboli usati sono i seguenti:







, dove h è l'altezza della neve in un cero istante.
Parto col considerare:

.
Come velocità medie nei due casi adopero quindi le medie geometriche delle velocità ai tre diversi orari considerati.
Sappiamo che vale:


.
Così si arriva a:

.
Ricordando l'uguaglianza si ottiene la relazione
.
A questo punto entra in gioco la portata R che si può scrivere come:
.
Il termine indica l'intervallo di tempo in cui ha nevicato prima delle nove di mattina.
Con semplici sostituzioni si arriva a:
.
A questo punto si deduce che ha cominciato a nevicare alle 8.20 am.
La cosa un po' sconcertante è che sulla rivista due dei personaggi si scambiano queste battute:
"Da quanto tempo nevica così?"
"Ha cominciato stanotte, e ha sempre continuato con la stessa intensità."
Alla luce dei calcoli invece sembra un orario quasi "lavorativo"... A meno che non intendessero dire che fuori era ancora buio.
Per la legge oraria si potrebbe integrare la relazione di inversa proporzionalità tra v e h e poi sostituire al posto di h l'uguaglianza che lega quest'ultima alla portata e al tempo. O no?

[Falco5x]

Nessuno ha pubblicato i passaggi intermedi... Allora posto i miei, anche perchè non capisco da cosa venga fuori quell'8.23.

Come velocità medie nei due casi adopero quindi le medie geometriche delle velocità ai tre diversi orari considerati.

Perchè dici che la velocità media è la media geometrica delle velocità iniziale e finale? a me non risulta.
Se la velocità è proporzionale all'inverso dell'altezza e questa è proporzionale al tempo, la velocità è proporzionale all'inverso del tempo, dunque lo spazio che è l'integrale della velocità è proporzionale al logaritmo naturale del rapporto tra i tempi finale e iniziale del tratto percorso.

Questo spiega le 8.23 anziché le 8.20.

[Falco5x]

Anche se i procedimenti accennati sembrano abbastanza convincenti, espongo qualche mia divagazione irrealizzabile.
Dopo la pulizia di 1 km, la strada viene di nuovo innevata, perciò l’operazione deve essere ripetuta con velocità media maggiore perché lo strato da eliminare è minore. Allora il tragitto deve essere iterato moltissime volte con velocità medie crescenti. Dopo un’ora è estremamente grande la velocità, infinitesimo il tempo di viaggio, sgombero completamente il cammino. Una velocità elevata può essere tollerata come ipotesi.

Certo che uno spazzaneve così dovrebbe avere freni a retrorazzi, capacità di manovra eccezionale per invertire istantaneamente la marcia, accelerazione da dragster e velocità da ferrari; altro che vecchio e malandato!

Comunque anche a me lascia perplesso l'affermazione che ha cominciato a nevicare la notte... la tua idea è plausibile, ma dubito che chi ha inventato l'ersercizio intendesse questo.

[pascal]

Ogni tanto possiamo avere delle idee stravaganti!
Esse derivano dal tentativo di conciliare l’ipotesi che dalle 9 fino alle 10 lo spazzaneve avesse ripulito completamente, almeno per un istante, un km di strada con la sua velocità inversamente proporzionale allo spessore della neve.

Ma ripeto, lo svolgimento più persuasivo conduce ad un anticipo rispetto alle nove di ore, in accordo col risultato delle 8:23.

[Stardust]

Perchè dici che la velocità media è la media geometrica delle velocità iniziale e finale? a me non risulta.
Se la velocità è proporzionale all'inverso dell'altezza e questa è proporzionale al tempo, la velocità è proporzionale all'inverso del tempo, dunque lo spazio che è l'integrale della velocità è proporzionale al logaritmo naturale del rapporto tra i tempi finale e iniziale del tratto percorso.

Secondo me si potrebbe sfruttare il fatto che se si hanno valori collegati alla funzione iperbole, come in questo caso con una inversa proporzionalità, il valore medio che essa assume in un certo intervallo è proprio la media geometrica dei valori assunti dalla funzione nell'intervallo stesso.
Non so dirvi bene perchè, ma mi è stato spiegato qualcosa del genere un po' di tempo fa.
Il ragionamento con gli integrali è condivisibile, ma in genere i problemi proposti dai Rudi Matematici su Le Scienze non coinvolgono troppo spesso conoscenze di calcolo tipo derivate o integrali, per lo più si basano su proporzioni e qualche calcolo probabilistico-combinatorio; per questo mi insospettisco un po'.