La soluzione a posteriori è molto semplice; è comunque una cosa che conviene aver visto almeno una volta.
Campo magnetico all'estremità di un solenoide.
Campo magnetico all'estremità di un solenoide.
Un solenoide è avvolto intorno al cilindro 
con 
. Il solenoide ha 
spire, e vi scorre una corrente 
che va verso le 
positive. Quanto vale il campo magnetico )
?
La soluzione a posteriori è molto semplice; è comunque una cosa che conviene aver visto almeno una volta.
La soluzione a posteriori è molto semplice; è comunque una cosa che conviene aver visto almeno una volta.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: Campo magnetico all'estremità di un solenoide.
Se è come penso io direi che la formula è tanto più precisa quanto più le spire sono "fitte".
Re: Campo magnetico all'estremità di un solenoide.
Vabbè, ovviamente supponiamo che le spire siano molto fitte, in modo che all'interno del solenoide si possa usare la solita formula per il campo magnetico.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
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Re: Campo magnetico all'estremità di un solenoide.
E’ utile integrare il campo sull’asse di più spire, ma in questo esempio la simmetria potrebbe abbattere le difficoltà.
Re: Campo magnetico all'estremità di un solenoide.
Forse a molti potrà sembrare una banalità siderale... ma provo a sviluppare l'idea di pascal che mia pare carina
Consideriamo il campo magnetico generato simmetrico... quindi avremo:
 = \vec B\left( {0,L,0} \right))
Perchè da una parte è entrante e dall'altra uscente... Prendiamo ora un solenoide lungo 2L e con 2N spire, attraversato dalla stessa i nel medesimo verso... nel punto)
avremo un campo pari a:
Se quindi "tagliamo" il nostro solenoide 2L in due parti in quel punto le componenti uscente (dal primo) ed entrante (nel secondo) dovrebbero formare il valore B trovato per il solenoide intero... riprendendo in considerazione le affermazioni precedenti sulla simmetria abbiamo:
 = \frac{1}{2}\mu _0 \mu _r \frac{N}{L}i)
In effetti mi sa di una soluzione un tantino ingenua, ma mi convinceva un sacco... a voi smontarla punto per punto
Consideriamo il campo magnetico generato simmetrico... quindi avremo:
Perchè da una parte è entrante e dall'altra uscente... Prendiamo ora un solenoide lungo 2L e con 2N spire, attraversato dalla stessa i nel medesimo verso... nel punto
Se quindi "tagliamo" il nostro solenoide 2L in due parti in quel punto le componenti uscente (dal primo) ed entrante (nel secondo) dovrebbero formare il valore B trovato per il solenoide intero... riprendendo in considerazione le affermazioni precedenti sulla simmetria abbiamo:
In effetti mi sa di una soluzione un tantino ingenua, ma mi convinceva un sacco... a voi smontarla punto per punto
Quando il temperamento originario prevale sulla cultura si è rozzi; quando la cultura prevale sul temperamento originario si è pedanti. Quando la cultura e temperamento si equilibrano, allora si è superiori. (Kong Qiu)
Re: Campo magnetico all'estremità di un solenoide.
Intendevo proprio la simmetria descritta nell'ipotesi L>>R, a parte il segno della prima formula.
Re: Campo magnetico all'estremità di un solenoide.
Sì, è giusto. Se ora qualcuno vuol farsi del male, può anche cercare la soluzione integrosa (a quel punto, tanto vale calcolare il campo in un punto qualsiasi sull'asse).MrTeo ha scritto:[...]
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
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Re: Campo magnetico all'estremità di un solenoide.
Però a questo punto masochismo vuole che l'ipotesi semplificativa L>>R venga tolta. Sennò che masochismo sarebbe???Pigkappa ha scritto:Sì, è giusto. Se ora qualcuno vuol farsi del male, può anche cercare la soluzione integrosa (a quel punto, tanto vale calcolare il campo in un punto qualsiasi sull'asse).MrTeo ha scritto:[...]
Re: Campo magnetico all'estremità di un solenoide.
Sì, certo. Supponendo che le spire siano molto fitte, si riesce a calcolare esattamente il campo in un qualsiasi punto dell'asse, senza 
. Non è il massimo come problema da Olimpiadi, ma visto che il conto si fa, potete anche provarci =P
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: Campo magnetico all'estremità di un solenoide.
Visto che questo non è un problema da olimpiadi allora non mi faccio scrupoli e posto la mia soluzione.
Dato il campo magnetico in un punto di ascissa y sull'asse di una spira circolare posta in O :
 = \frac{{{\mu _0}I{R^2}}}{{2{{\left( {{y^2} + {R^2}} \right)}^{3/2}}}})
scrivo il campo prodotto sul medesimo asse da una spira generica posta ad ascissa x:
 = \frac{{{\mu _0}I{R^2}}}{{2{{\left( {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {R^2}} \right)}^{3/2}}}})
Consideriamo adesso un solenoide di raggio R e di lunghezza L costituito da N spire affiancate (solenoide fitto).
Se le spire sono abbastanza sottili e vicine questa corrente si può assimilare a una corrente uniformemente distribuita sulla superficie di un cilindro di lunghezza L e raggio R e di valore
.
Preso dunque un anello di spessore infinitesimo di questo cilindro (spira elementare), esso sarà percorso da una corrente
, ovvero 
dove n è il numero di spire per unità di lunghezza.
Il campo totale prodotto da un solenoide che si estende dall'ascissa 0 all'ascissa L in un punto posto ad ascissa x sarà:
 = \frac{{{\mu _0}{R^2}nI}}{2}\int_0^L {\frac{{dy}}{{{{\left( {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {R^2}} \right)}^{3/2}}}}})
Ricordando il seguente integrale:
}^{3/2}}}}} = \frac{u}{{{R^2}\sqrt {{u^2} + {R^2}} }})
ed eseguendo una sostituzione di variabile
si ottiene:
 = \frac{{{\mu _0}nI}}{2}\left[ {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {R^2}} }} - \frac{{x - L}}{{\sqrt {{{\left( {x - L} \right)}^2} + {R^2}} }}} \right])
Come caso particolare si può determinare il campo al centro del solenoide, cioè ad ascissa L/2:
 = \frac{{{\mu _0}nI}}{2}\frac{L}{{\sqrt {{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2} + {R^2}} }})
Si vede che se il solenoide è molto lungo (al limite infinito) il campo suddetto diventa:
che è la formula classica del solenoide ideale.
Con considerazioni analoghe, nel caso in cui il raggio R sia trascurabile rispetto a L il campo ad una sua estremità (o nell'origine) tende a:
 } \to {\mu _0}\frac{nI}{2})
Dato il campo magnetico in un punto di ascissa y sull'asse di una spira circolare posta in O :
scrivo il campo prodotto sul medesimo asse da una spira generica posta ad ascissa x:
Consideriamo adesso un solenoide di raggio R e di lunghezza L costituito da N spire affiancate (solenoide fitto).
Se le spire sono abbastanza sottili e vicine questa corrente si può assimilare a una corrente uniformemente distribuita sulla superficie di un cilindro di lunghezza L e raggio R e di valore
Preso dunque un anello di spessore infinitesimo di questo cilindro (spira elementare), esso sarà percorso da una corrente
Il campo totale prodotto da un solenoide che si estende dall'ascissa 0 all'ascissa L in un punto posto ad ascissa x sarà:
Ricordando il seguente integrale:
ed eseguendo una sostituzione di variabile
si ottiene:
Come caso particolare si può determinare il campo al centro del solenoide, cioè ad ascissa L/2:
Si vede che se il solenoide è molto lungo (al limite infinito) il campo suddetto diventa:
che è la formula classica del solenoide ideale.
Con considerazioni analoghe, nel caso in cui il raggio R sia trascurabile rispetto a L il campo ad una sua estremità (o nell'origine) tende a: